シュレディンガー方程式の導出[弦振動ver]

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参考 ( シュレディンガー方程式とは? )

力学の運動方程式は、質点の将来の 『 古典状態 』 を決める。

量子力学のシュレディンガー方程式は、粒子の 『 量子状態 』 を決める。

つまり、シュレディンガー方程式は、力学の運動方程式に相当する。

P1 ( 波動方程式[弦振動ver]の導出 )

x軸に沿って張られた弦を考える。

T を弦の張力とする。

ρを弦の綿密度とする。

u(x、t)を弦の変位とする。

このとき、弦の運動方程式は次のように表される。

証明

x と x+δx の間に位置する弦の微小部分について考える。

その質量は近似的に ρδx と書ける。



この微小部分について x 方向の力の釣り合いは Tcosθ=Tcosθ と書ける。

よく知られているように微小角θに対して sinθ≒θ である。

よって、



つまり、これは2次の微小量なので無視してよい。

よって、垂直方向の運動のみを考えればよい。

つまり、



よって、微小部分の運動方程式は、

P2 ( シュレディンガー方程式の導出[弦振動ver])

次のシュレディンガー方程式は弦の振動から導かれる。

証明

弦の振動から次式を導くことができる。(※P1)



明らかに、その固有解は次のように表される。



ここで、後の議論を簡単するために、θ=0 とする。

つまり、u(x、t)=ψ(x)cosωt の形である。

これを(*1)に代入すると、



つまり、



cosωt は恒等的には 0 にはならない。

よって、



これは 『 時間に依存しない波動関数 』 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

波長をλと表し、波の速度を v と表す。

v=λνとおく。(★1)

νを 『 振動数 』 という。

ω=2πνとおく。(★2)

ωを 『 角振動数 』 という。

一方、よく知られているように、p=h/λ である。(※ド・ブロイ波)(★3)

(★1)、(★2)より、



(*4)を(*3)に代入すると、



運動量を p=mv と表すと、



全エネルギーを E と表し、ポテンシャルを U(x) と表すと、



よって、(*5)、(*6)より、

補足

上の証明では運動量 p=mv が登場した。

むろん、これは粒子の状態を表す量である。

なので、

「 弦の振動を考えていたはずなのに、いつの間に粒子の問題になったのだろう? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

よく知られているように、量子力学的粒子は 『 波動性 』 と 『 粒子性 』 をもつことに注意しよう。

そして、ド・ブライ波の公式は、この2つを関係づけるものである。