シュレディンガー方程式の導出〜弦振動ver

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参考 ( シュレディンガー方程式とは? )

力学の運動方程式は、質点の将来の 『 古典状態 』 を決める。

量子力学のシュレディンガー方程式は、粒子の 『 量子状態 』 を決める。

つまり、シュレディンガー方程式は、力学の運動方程式に相当する。

参考 ( シュレディンガー方程式の導出〜弦振動ver )

次のシュレディンガー方程式は弦の振動から導かれる。

証明

弦の振動から次式を導くことができる。



その解は次のように表される。



(*1)は 『 波動方程式 』 と呼ばれる。

波動方程式は別のページで扱っているので、興味がある人はそちらを参照。

ここでは(*1)を出発点としてシュレディンガー方程式を導く。

一方、(*2)が(*1)の解であることは、実際に代入することで確認できる。

ここで、後の議論を簡単するために、θ=0 とする。

つまり、u(x、t)=ψ(x)cosωt の形である。

これを(*1)に代入すると、



つまり、



cosωt は恒等的には 0 にはならない。

よって、



これは 『 時間に依存しない波動関数 』 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

波長をλと表し、波の速度を v と表す。

v=λνとおく。(★1)

νを 『 振動数 』 という。

ω=2πνとおく。(★2)

ωを 『 角振動数 』 という。

一方、よく知られているように、p=h/λ である。(※ド・ブロイ波)(★3)

(★1)、(★2)より、



(*4)を(*3)に代入すると、



運動量を p=mv と表すと、



全エネルギーを E と表し、ポテンシャルを U(x) と表すと、



よって、(*5)、(*6)より、

補足

上の証明では運動量 p=mv が登場した。

むろん、これは粒子の状態を表す量である。

なので、

「 弦の振動を考えていたはずなのに、いつの間に粒子の問題になったのだろう? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

よく知られているように、量子力学的粒子は 『 波動性 』 と 『 粒子性 』 をもつことに注意しよう。

そして、ド・ブライ波の公式は、この2つを関係づけるものである。