ホモロジ群の計算〜単体・複体ver

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参考

このページではホモロジ群の計算について解説する。

通常、ホモロジ群を定義するためには 『 剰余群 』 や 『 準同型定理 』 を用いる。

しかし、ここでは、これらの概念を表につかわずに、ホモロジ群の計算を解説する。

ただし、これは 「 ホモロジ群の理解に準同型定理が不要だった 」 という話ではない。

実質的には同じことをやるのだが、直接的に準同型定理を用いないということである。

定義 ( 自由加群 )

S を集合とする。

(S)={ a+・・・+a|a、x∈S } と定義する。

このとき、(S) を 『 自由加群 』 という。

明らかに、(S) は自然に加群と見なせる。

例えば、a+・・・+a(S) の逆元は、(−a)x+・・・+(−a)x である。

また、0x+0x+・・・が零元である。

また、(S) の任意の元が、ある E={ e、・・・、e }⊂S の1次結合で表せるとする。

このとき、E を 『 基底 』 という。

つまり、自由加群はほとんどベクトル空間と同じである。

定義 ( 単体 )

、v を2点とする。

次の集合を考える。

(*1) x=λ+λ、λ+λ=1

このとき、(*1)は v と v を結ぶ線分である。

さらに、これを一般化して、



このとき、上記の集合を|v・・・v|と表す。

また、|v・・・v|を 『 v・・・v からなる単体 』 という。

また、m 個の点からなる単体を総称して 『 (m−1)次元単体 』 という。

とくに、1点は0次元単体である。

ちなみに、(*)による操作を 『 凸結合 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

、・・・、v のうち、1個以上の点を除外したものを v・・・v ( s<m ) とする。

このとき、単体|v・・・v|を 『 v、・・・、v の面 』 という。

定義 ( 複体 )

K を単体の集合とする。

(1) 任意の s∈K に対し、s の任意の面 t は K に属する。

(2) 任意の s、t∈K に対し、s∩t は s と t の共通の円または空集合である。

このとき、K を 『 複体 』 という。

例えば、下図のように2つの単体を合わせたものは複体である。



実際に書き下すと、

K={|a|、|b|、|c|、|d|、|ad|、|bc|、|cd|、|da|、|db|、|abd|、|bcd|}

一方、次は複体ではありません。



このように、複体とは 『 辺を揃えた単体の組 』 である。

定義 ( 単体の向き )

まず、1次元単体|ab|について考える。

これは、<ab> と <ba> と表示することで向きが入り、区別できる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、2次元単体|abc|について考える。

いま、<abc>、<acb>、<cba>、<bac>、<bca>、<cab> という表示が考えられる。

しかし、このままでは向きが入ったとは言えない。

そこで、偶置換を+方向とし、奇置換を−方向とする。

つまり、

+方向 : <abc>、<bca>、<cab>

−方向 : <bac>、<cba>、<acb>

見れば分かるように、これは三角形の頂点が右回り・左周りであることを意味する。

さらに、<bac>=−<abc> と定義する。

これで2次元単体に向きが入った。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

さらに、3次元単体にも向きを入れることができる。

回転によって得られる番号付けを+方向とする。

鏡映によって得られる番号付けを−方向とする。

これで3次元単体に向きが入った。

定義 ( 鎖 )

まず、鎖群を定義する。

K を複体とする。

、・・・、s を、K に属する n 次元単体全体とする。

このとき、a+・・・+a ( a ) 全体を C(K) と表す。

(K) を 『 K の n 次元鎖群 』 という。

また、C(K) の元を 『 K の n 次元鎖 』 という。

鎖を 『 チェイン 』 という場合もある。

つまり、n 次元鎖群は自由加群である。

{ s、・・・、s } はその生成系である。

ただし、s、・・・、s が基底であるとは限らない。

つまり、s、・・・、s に余分なものが含まれている可能性がある。

例えば、三角形 abc を考える。

このとき、2<a>+<b>−3<c>∈C(K) である。

また、2<ab>+3<bc>−<ca>∈C(K) である。

定義 ( 境界準同型 )

次に、境界演算子を定義する。

まず、次の手順に従う。

(*1) ある単体に対し、その i 番目(0番目から始まる)の頂点を抜く。

(*2) 残りの頂点による単体に(−1) を掛ける。

(*3) すべての i に対して足し合わせた鎖を考える。

このような操作∂を 『 境界演算子 』 という。

例えば、次のように計算できる。

(1) ∂<ab>=<b>−<a>

(2) ∂<abc>=<bc>−<ac>+<ab>=<bc>+<ca>+<ab>

(3) ∂(1<ab>+3<bc>+2<ca>)=<a>−2<b>+<c>

つまり、境界演算子は単体の次元を下げる。

また、明らかに、準同型写像である。(つまり線形写像に)

とくに、∂<ab> は a から b への矢印を意味する。

また、∂<abc> は a→b→c→a というサイクルを意味する。

定義 ( 輪体、境界輪体、ホモロジ群 )

次に、輪体と境界輪体を定義する。

={ α∈C|∂α=0 } と定義する。

={ α∈C|あるβ∈Ci+1 が存在して∂β=αとなる } と定義する。

このとき、Z を 『 i 次輪体群 』 という。

このとき、B を 『 i 次境界輪体群 』 という。

実は、B は Z の部分群である。

よって、剰余群 H=Z/B を考えることができる。

このとき、H を 『 i 次ホモロジ群 』 という。

まず、i 次元輪体 Z について考える。

これは、i 次元鎖で、その境界が 0 になるもの全体である。

では、これは具体的にどのような集合であろうか?

それを考えたい。

例えば、1次元輪体とは具体的にどのようなものであろう?

複体 K を三角形 abc とする。

<ab>+n<bc>+n<ca> を K の1次元鎖とする。

いま、∂(n<ab>+n<bc>+n<ca>)=(n−n)<a>+(n−n)<b>+(n−n)<c> である。

これが輪体であるとすると、n−n=0、n−n=0、n−n=0 である。

つまり、n=n=n である。

つまり、三角形 abc の1次元輪体群は Z={ n(<ab>+<bc>+<ca>) } である。

次に、i 次元境界輪体 B について考える。

ここでは B⊂Z であることを確認してみよう。

ただし、これは直観的に明らかである。

実際、図形の境界は、その図形を取り囲むループである。

ループには端がない。

よって、さらに境界をとると 0 になる。

実際に確認してみると、





また、0次元、1次元の鎖は0次以下であるから規約によって 0 である。

以上により、B⊂Z である。

P1 ( 具体的なホモロジ群の計算 )

下図のような図形を考える。



この図形のホモロジ群は(b、b、b)=(1、0、0) である。

説明

複体として表すと、

(*) K={ <abd>、<bcd>、<ab>、<bc>、<cd>、<da>、<db>、<a>、<b>、<c>、<d> }

いま、C={ c<ab>+c<bc>+c<cd>+c<da>+c<db>|c } である。

よって、



( ただし、t=c−c、t=c+c−c、t=c−c である )

つまり、B={ t(<a>−<d>)+t(<b>−<d>)+t(<c>−<d>)|t } である。

よって、dimB=3 である。

一方、Z={ a<a>+a<b>+a<c>+a<d>|a } である。

実際、Z の任意の元は輪体である。( なぜなら、∂<a>=0、・・・、∂<d>=0 であるから )

よって、dimZ=4 である。

よって、dimH=dim(Z/B)=dimZ−dimB=1 である。

つまり、b=1 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

c∈Z とおく。

いま、c=c<ab>+c<bc>+c<cd>+c<da>+c<db> と表せる。

また、∂c=0 である。

よって、c−c=0、c+c−c=0、c−c=0、c−c−c=0 である。

よって、c=c(<ab>+<da>−<db>)+c(<bc>+<cd>+<db>) である。(★1)

よって、dimZ=2 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、B=∂(d<abd>+d<bcd>) である。

よって、B=d(<ab>+<bd>+<da>)+d(<bc>+<cd>+<db>) である。(★2)

(★1)と(★2)は同じである。

つまり、dimB=2 である。

よって、dimH=dim(Z/B)=dimZ−dimB=0 である。

つまり、b=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

c∈Z とおく。

いま、c=d<abd>+d<bcd> と表せる。

また、∂c=0 である。

つまり、(★2)の右辺が 0 になる。

よって、d=d=0 である。

よって、dimZ=0 である。

一方、いま、K は3次元の単体をもたない。

よって、B={0} である。

よって、dimB=0 である。

よって、dimH=0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、(b、b、b)=(1、0、0) である。