相反定理(電気容量係数)

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参考 ( 概要 )

単位体積あたりの静電場エネルギーは u=(1/2)ε で表される。

このページではこのことを 「 平行板コンデンサ 」 と 「 導体球 」 について確認する。

よく知られているように、静電気力や重力は空間のひずみに起因するとする見方がある。

これを 『 近接作用 』 という。

これはバネに似ている。

縮んだバネは伸びるときに仕事をする。

つまり、バネのひずみがエネルギー (1/2)kΔx を蓄えている。

これは式 u=(1/2)ε と同じ形をしている。

復習 ( E=−∇φ )

電場は E(r)=−∇φ(r) と表される。

とくに、電場の向きは等ポテンシャル面に垂直である。

参考 ( 導体内部でE=0、導体内部と表面でφ=一定、導体外部でE⊥S )

静電場に導体を置く。

このとき、次が成り立つ。

(1) 導体内部の電場は 0 である。

(2) 導体内部(と表面)でポテンシャルは一定である。

(3) 導体外部の電場は(導体の)面に垂直である。

証明

既知とする。

参考 ( E=σ/ε

導体表面の電荷密度をσとする。

(r)を導体の単位法ベクトルとする。

このとき、電場 E(r) は、

証明

既知とする。

定義 ( 電気容量 )

導体に蓄えられている電荷は、その導体のポテンシャルφに比例する。(★)

そこで、その比例係数を C と表す。

つまり、q=Cφ である。

このとき、C を 『 電気容量 』 という。

(★)の証明

よく知られているように、ポテンシャルは 「 ラプラス方程式の解 」 である。

また、境界条件が定まれば、その解は一意である。

いま、導体のポテンシャルを φ であるとする。

つまり、導体表面のポテンシャルは φ であり、これは境界条件である。

境界条件 φ に対してラプラス方程式 ∇φ(r)= 0 の解を φ(r) とする。

ここで、φ を 2φ に変更してみよう。

すると、明らかに、その解は 2φ(r) である。

よって、電場の強さ も2倍になる。

よって、電荷も2倍である。(参考:E=σ/ε

つまり、(★)が示された。

参考 ( 静電エネルギー )

点電荷 q、・・・、q から成る静電エネルギーは次のように表される。



上式を次のように表すこともできる。



電荷密度 ρ(r) で連続的に分布している場合は、



上式を次のように表すこともできる。

証明

(1)の(i、j) は n 個の電荷のすべての組について和をとることを意味する。

例えば、(1、3) と (3、1) は同じものと見なされる。

一方、(2)の和では (1、3) と (3、1) を区別して数え上げるので、係数 (1/2) を付けている。

P1 ( 点電荷1個の静電エネルギー )

点電荷 q の静電エネルギーは次のように表される。

補足

むろん、点電荷 q、・・・、q の静電エネルギーは U=1≦k≦n(1/2)qφ である。

証明

導体内部でポテンシャルは一定である。(参考:導体内部と表面でφ=一定)

よって、U=(1/2)∫ρ(r)φ(r)dV=(1/2)φ∫ρ(r)dV=(1/2)qφである。(※参考:静電エネルギー)

よって、U=(1/2)Cφ=(1/2C)q である。(※定義:電気容量)

P2 ( 電気容量係数の相反定理 )

導体1の電荷を q とし、導体2の電荷を q とする。

このとき、ある定数 C11、C12、C21、C22 が存在して次を満たす。



さらに、一般に、C12=C21 が成り立つ。

補足

11、C12、C21、C22 を 『 電気容量係数 』 という。

証明

導体1のポテンシャルを φ とし、導体2のポテンシャルを 0 とする。

そのようなポテンシャルを φ(r)と表す。

いま、電場は φ に比例する。(※参考:E=−∇φ)

よって、導体上の電荷も φ に比例する。(※参考:E=σ/ε

つまり、導体1上の電荷を q=C11φ、導体2上の電荷を q=C21φ と表せる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上記のことは物理的には導体2を接地させることを意味する。

例えば、導体1を正に帯電させると、接地から導体2へ負の電荷が移動する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

導体1のポテンシャルを 0 とし、導体2のポテンシャルを φ とする。

そのようなポテンシャルを φ(r) と表す。

いま、導体1上の電荷を q=C12φ、q=C22φ と表せる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

導体1のポテンシャルを φ とし、導体2のポテンシャルを φ とする。

そのようなポテンシャルを φ(r) と表す。

いま、φ(r)=φ(r)+φ(r) である。

よって、



これを解くと、



よって、導体1と2を合わせた静電エネルギーは次のように計算される。(※P1)



ここで、微小変化 δq に対する変化 δU を求めると、



一方、δU は δq を無限遠(ポテンシャル0)から導体1(ポテンシャルφ)まで移動させる仕事である。

よって、δU=φδq である。

( 電荷の移動によってポテンシャルは変化するが、それは2次 (δq) なので無視してよい )

よって、(*1)の第1式より、



(*2)と(*3)は q に比例する項を等式で結ぶと、(C12+C21)/2=C12 である。

つまり、C12=C21 である。

定義 ( コンデンサ )

2個の導体を近づけ、それぞれに +q と −q の電荷を与える。

いま、各導体の電荷は互いにポテンシャルを小さくする。

このように電荷を蓄える装置を 『 コンデンサ 』 という。

とくに、平行板の形をした導体を平行に近づけたコンデンサを 『 平行板コンデンサ 』 という。

P3 ( コンデンサの電気容量 )

±q に帯電した導体から成るコンデンサを考える。

導体間のポテンシャル差を Δφ とする。

このとき、

補足

C を 『 コンデンサの電気容量 』 という。

証明

導体1のポテンシャルを φ とし、導体2のポテンシャルを φ とする。

導体1の電荷を +q とし、導体2の電荷を −q とする。

いま、次が成り立つ。(※P2)



よって、



つまり、結論を得る。

P4 ( 平行板コンデンサの電気容量 )

平行板コンデンサを考える。

導体板の面積を A とし、両板の間隔を d とする。

このとき、電気容量は C=εA/d である。

証明

いま、導体板において電荷は一様に分布している。

その面密度は σ=±q/A である。

よって、導体板間の電界は E=σ/ε=q/εA である。(※参考:E=σ/ε

よって、Δφ=∫E・tds=Ed=(d/εA)q である。

よって、C=εA/d である。(※P3)

P5 ( コンデンサと導体球の静電場エネルギー )

単位体積あたりの静電場エネルギーは次のように表される。

補足

上記の関係は一般に成り立つ。

ここではコンデンサと導体球に対して上式が成り立つことを直接的に示す。

証明 ( コンデンサについて )

次のように計算できる。(※P1、P3、P4)

証明 ( 導体球について )

よく知られているように、



よって、導体球の電気容量は C=4πεR である。

よって、P1より、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、導体球の中心から距離 r の電場の強さは、



ここで、次のようにおく。



すると、



つまり、(*1)と(*3)は一致する。

これは u(r) が単位体積あたりの静電エネルギーであることを意味する。