実対称行列の対角化

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注意

行列 A の行列式を detA または|A|で表す。

行列 A の転置を A または A で表す。

注意

行列の成分が実数であることを強調する場合は 「 実行列 」 という。

復習 ( 回転行列 )

位置ベクトル v=(v、v)を角度θだけ時計回りに回転させたものを v’=(v’、v’)と表す。

このとき、



このR(θ)を 『 回転行列 』 という。

一方、反時計回りの回転行列は次のように表される。

定義 ( 対称行列 )

A を n 次行列とする。

A=A であるとする。

このとき、A を 『 対称行列 』 という。

定義 ( 直交行列 )

A を n 次行列とする。

AA=I ( I は n 次単位行列 ) であるとする。( つまり A=A である )

このとき、A を 『 直交行列 』 という。

P1 ( 直交行列の行列式=±1 )

A を n 次直交行列とする。

このとき、detA=±1である。

証明

一般に、行列 B、C について|BC|=|B|・|C|である。

一般に、行列 B について|B|=|B|である。

よって、|AA|=|A|・|A|=|A|・|A|である。

一方、|AA|=|I|=1である。

よって、|A|=±1である。

P2 ( 直交行列は回転行列として表せる )

A を2次直交行列とする。

いま、detA=±1である。(※P1)

このとき、行列 A は次の形で表せる。



補足

つまり、すべての直交行列は回転行列として表せる。

証明

次のようにおく。



一般に、



いま、A=A−1 である。(※定義:直交行列)

よって、



detA=1の場合、



よって、a=d、b=−c である。

よって、1=ad−bc=a+b である。

よって、定理の結論が得られる。

detA=−1の場合も同様である。

P3

A=(a、b)を2次行列とする。( つまり a と b は2次元縦ベクトル )

このとき、次は同値である。

(1) A は行列式=+1の直交行列である。

(2) a と b は単位ベクトルであり、b は a を時計回りに(π/2)回転させたベクトルである。

証明

(1)を仮定する。

いま、次のようにおくことができる。(※P2)



ここで、b を時計回りに(π/2)回転させて次を得る。(※復習:回転行列)

P4 ( 2次対称行列の対角化 )

A を2次実対称行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) A の固有値は実数である。

(2) A は直交行列によって対角化可能である。

(1)の証明

いま、次のように表せる。



固有方程式 det(A−xI)=0 は、x−(a+c)x+(ac−b)=0 である。

その判別式は、(a+c)−4(ac−b)=(a−c)+b≧0 である。

(2)の証明

λを1つの固有値とする。

(x、y)をλに伴う固有ベクトルとする。

いま、Av=λv である。

よって、ax+by=λx、bx+cy=λy である。

ここで、w(−y、x)とおく。

つまり、w は v を反時計まわりに(π/2)回転させたベクトルである。

計算すると、Aw=(a+c−λ)w である。

つまり、w は固有ベクトルであり、その固有値は a+c−λである。

そこで、μ=a+c-λ とおく。

ここで、v を定数倍して || v ||=1となるようにする。

( むろん、w は v を回転させたものであるから、|| w ||=1として考える )

( むろん、固有値λとμも、この v と w に合わせて取り直す )

P=(v、w)とおく。( つまり、P は 2×2 行列である )

いま、Pは直交行列である。(※P3)

また、



よって、P−1AP は対角行列である。