テンソル→共変微分→計量→測地線→アインシュタイン方程式→シュヴァルツシルト解

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要請 ( 一般相対性理論 )

次を要請する。

(1) 計量テンソル場は宇宙における物質の質量とエネルギーの分布によって定まる。

(2) 質点に力が作用しない場合、質点の運動はローレンツ多様体の測地線として記述される。

上記の要請に基づく理論を 『 一般相対性理論 』 という。

計量テンソル場や測地線については以下で説明する。

ここでは 『 リーマン計量 』 の存在を仮定して形式的に議論を進める。

これによりローレンツ多様体に関する議論は省略する。

むろん、計量の意味については以下で説明する。

このページを理解するために必要な知識は 「 ベクトル場、全微分、行列の積 」 のみである。

注意 ( アインシュタインの規約 )

1つの項の中で、ある指標が上側と下側に1度ずつ現れるとする。

このとき、その指標について総和をとるルールを定める。

これを 『 アインシュタインの規約 』 という。

例えば、次のような式を考えよう。



アインシュタインの規約を用いると、上式を次のように表せる。

アインシュタインの規約は、幾何学や物理学で有用である。

定義 ( ミンコフスキ時空〜初等ver )

(ct、x、y、z)を座標とする。

2点(ct、x、y、z)と(ct、x、y、z)の距離 s を次のように定める。

(*) s=−c(t−t+(x−x+(y−y+(z−z

このような距離 s が定められた空間を 『 ミンコフスキ時空 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、通常の空間座標(x、y、z)の原点で光を放射する。

いま、この光が t 秒後に到達する点全体は x+y+z=(ct) で表される。

つまり、−c+x+y+z=0 である。

よって、距離 s がミンコフスキ時空において意味をもつと推測することは自然である。

参考 ( ミンコフスキ計量 )

次のように定義する。



このとき、(ημν)を 『 ミンコフスキ計量 』 という。

定義 ( 座標変換 )

μ (μ=0、1、2、3) を4次元空間上の座標系とする。

〜μを別の座標系とする。

いま、x〜μを元の座標 xμ によって表すことができる。

つまり、x〜μ=fμ (x、x、x、x)と表せる。

このとき、f=(f、f、f、f)を 『 座標変換 』 という。

むろん、次が成り立つ。(※全微分、アインシュタインの規約)

定義 ( 反変ベクトル、共変ベクトル、スカラー )

次のような変換をもつ量 Vμ を 『 反変ベクトル 』 という。



また、次のような変換をもつ量 Vμ を 『 共変ベクトル 』 という。



また、変換に対して不変な量を 『 スカラー 』 という。

つまり、スカラーφは、

つまり、反変ベクトルと共変ベクトルの係数は逆数(逆行列)の関係である。

定義 ( 混合テンソル )

次のような変換をもつ量 Tμν を 『 1階反変1階共変テンソル 』 という。



同様に、Tμ、・・・、μν、・・・、ν を定義し、これを 『 p階反変q階共変テンソル 』 という。

むろん、Tμ、・・・、μ を 『 p階反変テンソル 』 といい、Tν、・・・、ν を 『 q階共変テンソル 』 という。

以下、p階反変q階共変テンソルを 『(p、q)テンソル 』 と呼ぶ。

つまり、反変ベクトルは(1、0)テンソルであり、共変ベクトルは(0、1)テンソルである。

参考 ( テンソルの具体例 )

次が成り立つ。

(1) 曲線の接ベクトルは反変ベクトルである。

(2) スカラー場の微分は共変ベクトルである。

(3) 反変ベクトルと共変ベクトルの内積はスカラーである。

(4) クロネッカのデルタ関数は(1、1)テンソルである。

(1)の証明

μ(θ)を曲線とする。

つまり、x(θ)=(x(θ)、・・・、x(θ))という1つの曲線を考える。

むろん、曲線の接ベクトルは dxμ/dθである。

つまり、曲線の接ベクトルは dx/dθ=(dx/dθ、・・・、dx/dθ)である。

いま、



つまり、曲線の接ベクトル dxμ/dθ は反変ベクトルである。

(2)の証明

φ(xμ)をスカラー場とする。

つまり、φ(x、・・・、x)をスカラー場とする。

その微分は ∂φ/∂xμ である。

いま、



つまり、∂φ/∂xμ は共変ベクトルである。

(3)の証明

μ を反変ベクトルとする。

μ を共変ベクトルとする。

つまり、



よって、

(4)の証明

いま、



よって、



つまり、δμνは(1、1)混合テンソルである。

注意 ( 微分の表記 )

以下、∂/∂xμ を ∂μ と表す。

定義 ( 共変微分〜反変ベクトルver )

μ(x)を反変ベクトル場とする。

つまり、Vμ(x、・・・、x)であり、V=(V、・・・、V)である。

ベクトルの平行移動を次のように表す。



いま、次のように表せる。



次のように定義する。



このとい、∇λμ を 『 共変微分 』 という。

また、Γμνλ を 『 接続系数 』 という。

上の(*1)と(*2)より、

つまり、

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

簡単に言えば、共変微分は 「 ベクトル場の微分がテンソルとなるように定義された微分 」 である。

まず、通常の微分に対してベクトル場の微分がテンソルにならないことを確認する。

ベクトル場 Vμ(x) に対して通常の微分は、



上式右辺の第1項は(1、1)テンソルである。

しかし、第2項を余分にもつのでテンソルではない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

なぜ通常の微分はテンソルにならないのだろうか?

その理由は、ベクトルの始点と終点が異なる変換則に従うからである。

では、どうするか?

この問題を解決するために、余分な項を打ち消すように新しい微分を定義しよう。

まず、ベクトルの平行移動を Vμ(x+Δx)=Vμ(x)+δVμ(x)で定義する。

つまり、δVμ(x)は 『 移動分 』 である。



いま、Vμ(x+Δx) と Vμ(x+Δx) は始点を共有するベクトルである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

むろん、Δx=0 ならば δVμ(x)=0 である。

つまり、δVμ(x) は Δx に比例する。

また、Vμ=0 ならば Vμ(x+Δx)=0 であるから δVμ(x)=0 である。

つまり、δVμ(x) は Vμ(x) に比例する。

以上により、δVμ(x)は Vμ(x)Δx に比例する。

よって、δVμ(x)=−Γμνλν(x)Δxλ と表せる。

参考 ( 共変微分がテンソルであるための条件 )

共変微分がテンソルであるためには、次が成り立つ必要がある。

補足

つまり、接続自身はテンソルではない。

ただし、Γμνλ−Γμλν はテンソルである。

実際、上式の右辺は打ち消し合って消える。

証明

共変微分がテンソルであることは次を意味する。



上式(*1)の左辺は次のように計算できる。(※定義:共変微分)



一方、(*1)の右辺は、



よって、



よって、



ここで、∂x/∂x を両辺に掛ける。( つまり c に関して縮約をとる )

すると、



一方、



(*3)を(*2)に代入すると、



つまり、

補足

もしかしたら、上記証明の最後の記号の置き換えに対して

「 左辺では c→μ と置き換えているのに、右辺第2項で c→a と置き換えてよいのか? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、問題はない。

なぜなら、右辺第2項では c はダミー変数(縮約に関する変数)である。

つまり、右辺第2項の c は他の c に対して無関係である。

定義 ( 共変微分〜共変ベクトルver )

μ(x)を共変ベクトル場とする。

次のように定義する。



このとき、∇νμ を 『 共変微分 』 という。

定義の仕方は定義(共変微分〜反変ベクトルver)と同じである。

定義 ( 共変微分〜混合テンソルver )

μνλ を(2、1)ベクトルとする。

その共変微分を次のように定義する。

これは定義(共変ベクトル〜反変ベクトルver)と定義(〜共変ベクトルver)の自然な拡張である。

このことは定義を見比べれば分かるであろう。

P1 ( 共変微分のライプニッツ則 )

次が成り立つ。

証明

μν は(1、1)テンソルである。

よって、次のように計算できる。

定義 ( リーマン計量 )

ある(0、2)対称テンソル gμν(x) が存在して次を満たすとする。

(1) xμ と xμ+dxμ の距離 ds は ds=gμν(x)dxμdxν と表される。

(2) 反変ベクトル Vμ の大きさ V は V=gμνμν と表される。

(3) 反変ベクトル Vμ と Wν の内積は gμνμν で表される。

(4) ある(2、0)テンソル gμν が存在して、gμννλ=δλμ となる。

このとき、gμν を 『 リーマン計量(あるいは基本テンソル)』 という。

つまり、gμν は gμν の逆行列である。

上では gμν が存在すると仮定して定義した。

むろん、厳密には gμν が存在することの正当性を示す必要がある。

しかし、そのための議論はここでは省略する。

ミンコフスキ計量 ημν は定値行列であった。

一方、今回の gμν は x の関数であることに注意。

P2 ( 等価原理 )

計量テンソル場において座標変換によって局所的に計量 gμν としてミンコフスキ計量ημν を採用できる。

補足

つまり、座標変換によって局所的にミンコフスキ時空をとれる。

証明

これの証明は少し長いので別ページで議論する。

ここではこれを認めることにしよう。

定義 ( リーマン曲率テンソル )

次のように定義する。



このとき、Rμνλκ を 『 反変なリーマン曲率テンソル 』 という。

また、Rμνλκ を 『 共変なリーマン曲率テンソル 』 という。

また、Rμλ を 『 リッチテンソル 』 という。

また、R を 『 リッチスカラー 』 という。

上記の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明しよう。

ユークリッド幾何学ではベクトルをどのように平行移動してもベクトルの方向は変化しない。

では、曲面上ではどうか?

例えば、球面上の北極にあるべクトルを平行移動して南極に移動させてみよう。

すると、経路によってベクトルの方向が変化する。(※下図)



つまり、空間の歪曲はベクトルの平行移動によって定量化できる。

そこで、ベクトル Vμ を次の経路で平行移動させてみよう。

(*1) x → x+dx → x+dx+Δx

(*2) x → x+δx → x+Δx+dx

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、(*1)について考える。

いま、次が成り立つ。(※3番目の式はテイラー展開による近似)



以上により、



一方、(*2)は上式の dx と Δx を入れ替えることで求められる。

よって、



そこで、右辺の係数を Rμνλκ とおく。

つまり、

P3 ( ビアンキ恒等式 )

次が成り立つ。

補足

(5)を 『 ビアンキ恒等式 』 という。

(6)を 『 拡張されたビアンキ恒等式 』 という。

補足

とくに、(3)において Γμνλ を 『 クリストフェル記号 』 という。

むろん、この記号は既に 『 接続係数 』 として定義したものと同じである。

最初に(3)のように Γμνλ を定義して議論を出発することもできる。

(1)の証明

いま、座標変換によって局所的にミンコフスキ時空をとれる。(※P2:等価原理)

ミンコフスキ時空ではベクトルの平行移動は経路に依存しない。

つまり、接続は 0 である。

よって、Γλμν−Γλνμ=0 である。

一方、Γλμν−Γλνμ はテンソルである。(※参考(共変微分がテンソルであるための条件)の補足)

よって、任意の座標系に対して Γλμν−Γλνμ=0 である。

(2)の証明

平行移動してもベクトルの大きさは変化しない。

よって、gμν(x)Vμ(x)Vν(x)=gμν(x+dx)μ(x+dx)ν(x+dx)である。

一方、gμν(x+dx)=gμν(x)+∂μν(x)dx である。(※テイラー展開)

また、μ(x+dx)=Vμ(x)−Γμνa(x)Vμ(x)Δx である。(※定義(共変微分〜反変ベクトルver)の補足)

以上により、(∂μν−gμλΓλνa−gλνΓλμa)Vμνdx=0 である。

上式が恒等的に成り立つので、∂μν−gμλΓλνa−g λaΓλμa=0 である。

つまり、∇μν=0 である。

(3)の証明

(2)の式にνと a の入れ替えた式を加える。

さらに、μと a を入れ替えた式を引く。

すると、(1)より、∂μν+∂νμa−∂μaν−2gμκΓλνa=0 である。

上式に gμν ( つまり計量の逆行列 ) を掛ける。

すると、Γμνa=2−1μλ(∂λν+∂νλa−∂λaν)である。

(4)の証明

(3)より、Rμνλκ+Rμκνλ+Rμλκν=0 である。

よって、(4)の式を得る。

(5)の証明

(4)より、明らかである。

(6)の証明

(2)より、計量の共変微分は 0 である。

よって、計量と共変微分の順番を入れ替えることができる。

実際、∇λ(gκμX)=(∇λκμ)X+gκμλX=gκμλX である。

よって、ビアンキ恒等式(5)に gκμ を掛けると、∇ν(Rμν−2−1μνR)=0 である。

実際、例えば、ビアンキ恒等式の第1項に対して gμνλμνκμ=∇λ(gμνμνκμ)=∇λμν である。

P4 ( リーマン曲率テンソルの反対称性、リッチテンソルの対称性 )

次が成り立つ。

(1)の証明

明らかである。(※定義:リーマン曲率テンソル)

(2)の証明

明らかである。(※P3(3))

(3)の証明

明らかである。(※P3(4))

(4)の証明

明らかである。

定義 ( 固有時間 )

次のように定義する。



このとき、τを 『 固有時間 』 という。

簡単に言えば、固有時間は 「(空間的に)静止している時計が表示する時刻 」 を意味する。

以下、このことを確認する。

慣性系 S において速度 v で移動する時計を考える。

S’を時計が(空間的に)静止する慣性系とする。

いま、v=(dx+dy+dz1/2/dt である。(★1)

また、dx’+dy’+dz’=0 である。(★2)

(★1)より、ds=−cdt+dx+dy+dz=−cdt(1−v/c)である。

(★2)より、ds=−cdt’ である。

よって、dt=γdt’である。

そこで、dτ=dt’=(1/γ)dt=−(1/c)ds と定義する。

つまり、固有時間τは(空間的に)静止している時計が表示する時刻を意味する。

定義 ( 4元速度、4元運動量 )

既に確認したように、dxμ/dt は4元ベクトルではない。

その理由は、ローレンツ変換に対して dxμ だけでなく、dt も変換されてしまうからである。

一方、固有時間τはローレンツ変換に対して不変である。

よって、dxμ/dτは4元ベクトルである。

そこで、dxμ/dτを 『 4元速度 』 という。

また、pμ=mdxμ/dt を 『 4元運動量 』 という。

次のように計算できる。

定義 ( 測地線 )

2点を結ぶ最短距離の曲線を 『 測地線 』 という。

参考 ( 最小作用の原理 )

F(x、y、y’)を汎関数とする。( 汎用関数は「関数の関数」という意味 )

次のように定義する。



任意の微小変化 δy ( ただしδy(a)=0、δy(b)=0 とする ) に対して δI=0 であるとする。

このとき、



この式を 『 オイラー方程式 』 という。

補足

上で仮定したように、δy(a)=0、δy(b)=0 である。

つまり、これは、y を x=a と x=b で両端固定して、y を変化させることを意味する。

補足

微小変化 δy に対する I[y] の微小変化 δI を 『 変分 』 という。

証明

既知とする。

ただし、この省略によって以下の理解に被害が出ることはない。

P5 ( 時空の測地線 )

時空において測地線は次のように表される。

補足

(1)を 『 空間的測地線 』 といい、(2)を 『 時間的測地線 』 という。

(1)の証明

いま、ds=(gμνdxμdxν1/2 である。

よって、距離は、



次のようにおく。



オイラー・ラグランジュ方程式の両辺に 2L を掛けると、



つまり、



上式(*)の左辺は次のように計算できる。(P3(3))



また、(*)の右辺は dL/du=d(ds/du)/du=s・・ に比例する。

ここで、パラメータ u として s を採用する。

すると、s・・ は s 自身の2回微分であるから s・・=0 である。

よって、(*)は x・・μ+xνκΓμνκ=0 と表せる。

つまり、

(2)の証明

(1)の議論では u による微分を s による微分に置き換えた。

一方、u による微分をτによる微分に置き換えれば今回の結論を得る。

定義 ( エネルギー・運動量テンソル )

物質の密度の4元化を Tμν と表す。(※要請(一般相対性理論)の(1)によって与えられる )

この Tμν を 『 エネルギー・運動量テンソル 』 という。

密度は質量に基づく量である。

圧力は運動量に基づく量である。

特殊相対性理論では 『 質量とエネルギーの等価性 』 が示される。

質量とエネルギーの等価性は4元運動量によって記述される。

よって、密度も4元化できる。

そこで、これを Tμν と表す。

流体の場合、Tμν は xν は一定の面を通過する4元運動量 pμ の流れを意味する。

P6 ( エネルギー・運動量テンソルの物理的意味 )

流体(流速は光速に比べて十分小であるとする)に対して次が成り立つ。

(1) T00 はエネルギー密度を意味する。

(2) Ti0 は運動量密度 ( に光速 c を掛けたもの ) を意味する。

(3) T0i はエネルギー流束 ( に光速の逆数 c−1 を掛けたもの ) を意味する。

(4) T11、T22、T33 は圧力を意味する。

(5) Tij ( i≠j ) は応力を意味する。

また、

補足

図示すると、

補足

むろん、局所ローレンツ静止系を採用すると、運動量密度は 0 になる。

補足

定理で仮定しているように、速度は光速よりも十分小なので γ≒1 である。

よって、4元速度は uμ=dxμ/dτ=(c、v) である。(※定義:4元速度)

また、4元速度は pμ=muμ=(mc、mv)である。

また、流体数密度を n とすると、流れは nuμ である。

以下の証明ではこれらのことを用いる。

(1)の証明

00 は時間一定面を通過する運動量の 0 成分の流れである。

時間一定面を通過する 0 成分は p=mc であり、流れは nu である。

よって、T00=pnu=mnc=ρc である。

つまり、T00 はエネルギー密度である。

(2)の証明

i0 は時間一定面を通過する運動量の i 成分の流れである。

よって、Ti0=p・nu=cnp である。

つまり、Ti0 は運動量密度に光速 c を掛けたものである。

さらに変形すると、Ti0=cnp=cmnv=cρv である。

(3)の証明

0i は x 一定の面を通過する p の流れである。

また、エネルギーは E=mc=cp である。

よって、T0i=pnv=(E/c)nv である。

つまり、T0i はエネルギー流束を光速 c で割ったものである。

さらに、式変形すると、T0i=pnv=mcnv=cρv である。

(4)と(5)の証明

ij は x 面を通過する運動量 p の流れである。

よって、Tij=p・nv=mnv=ρv である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、i=j の場合について考える。

流体を構成する粒子は単位時間に v だけ移動する。

つまり、nv は単位体積あたり単位時間に面を通過した粒子の総数を意味する。

つまり、p・nv は運動量の単位時間での変化分の総量を意味する。

運動量の変化は力積である。

単位時間・単位面積の力積は圧力を意味する。

つまり、T11、T22、T33 は圧力である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、i≠j の場合は応力を意味する。

ここでは応力についての詳しい説明は省略する。

P7 ( 圧力0の流体 )

圧力 0 の流体の場合、局所ローレンツ静止系では次のように表される。

(*) Tμν=diag(ρc、0、0、0)=ρuμν

補足

ただし、上記の Tμν は局所ローレンツ系を座標として採用していることに注意しよう。

つまり、一般の座標系に対するテンソル Tμν=ρuμν は局所ローレンツ静止系で(*)に一致する。

証明

μν=diag(ρc、0、0、0)は明らかである。(※P6)

局所ローレンツ静止系では uμ=(c、0、0、0)である。

つまり、u=c であり、u=0、u=0 である。

よって、Tμν=ρuμν である。

P8 ( 局所ローレンツ系における保存則 )

局所ローレンツ系においてエネルギーと運動量の保存則は ∇νμν=0 と表される。

証明

原点から x、y、z 方向に一辺 Δx の微小な立法領域を考える。

この領域におけるエネルギーの単位時間あたりの増加は ∂((Δx)00)である。

また、x方向のエネルギー流の増加は (Δx)(T01(0)−T01(Δx)) である。

y と z 方向も同様である。

よって、



よって、∂ν0ν=0 である。

これを共変形式に拡張すると ∇νμν=0 である。

参考 ( ポアソン方程式 )

φを重力ポテンシャルとする。( つまり ∇φ=−(1/m)F である )

ρを物質密度とする。

このとき、Δφ=4πGρである。

補足

ただし、Δ=∂x+∂y+∂z である。

むろん、Δ=∇・∇ と表すこともできる。

証明 ( 形式的 )

ポアソン方程式左辺を積分すると次のように計算できる。(※ガウスの定理)

(左辺)=∫∇(∇φ)dxdydz=∫(∇φ)・dS=−(1/m)∫FdS=−(1/m)4πr・e

ポアソン方程式の右辺を積分すると、次のように計算できる。

(右辺)=4πG∫ρdxdydz=4πGM

よって、F・e=−GMm/r である。

P9 ( 重力場方程式 )

重力場方程式は次のように表される。

補足

Λ を 『 宇宙項 』 という。

証明

重力ポテンシャルφと物質の密度分布ρ(x)に対して次が成り立つ。(※参考:ポアソン方程式)

(*) Δφ(x)=4πGρ(x)

既に物質密度ρに対応する共変な量として Tμν を定義した。

また、Tμνは(0、2)テンソルである。

よって、(*)の左辺も(0、2)テンソルで表される必要がある。

また、計量で表される(0、2)テンソルはリッチテンソル Rμν と gμν自身である。

よって、定理の式を得る。

P10 ( アインシュタイン方程式 )

要請(一般相対性理論)の(2)より、重力場方程式は次のように表される。

証明

まず、Λを決定する。

そのために真空 Tμν=0 の場合を考える。

いま、重力源はないので空間に歪曲はない。

つまり、Rμν=0、R=0 としてよい。

よって、Λ=0 としてよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、αを決定する。

いま、∇ν(Rμν+αRgμν)=0 である。(※P9:局所ローレンツ系における保存則)

α=−1/2 とすると、上式は縮約されたビアンキ恒等式に一致する。(※P3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

最後にκを求める。

重力場が弱い場合について考える。

いま、重力場が弱いので空間の歪曲は小さいと考えられる。

よって、計量 g はミンコフスキ計量ηに近い値をとる。

そこで、gμν=ημν+hμν とおく。

つまり、|hμν|は十分小である。

つまり、hμν の2次以上の項は無視してよい。(★1)

さらに、この計量 g は時間的に緩やかに変化するとする。

つまり、∂μν≒0、∂μν≒0 である。(★2)

いま、重力場が弱いので物体の速度は光速に比べて十分小である。

つまり、dx/dτは c に比べて十分小である。

よって、dx/dτの2次以上の項は無視してよい。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、質点の測地線は次のように表される。(※P5)



いま、(★3)より、上式の第2項は ν=0、λ=0 の場合のみを考えればよい。

また、(★1)より、



よって、(★2)より、





よって、測地線は次のように表される。



上の第1式より、x=cτである。

つまり、静止しているので座標時間が固有時間に等しい。

よって、上の第2式のτによる微分を t による微分に置き換えてよい。

さらに、dx/dτ=c であることに注意する。

すると、



一方、ニュートン運動方程式より、次が成り立つ。(φは重力ポテンシャル)



重力が弱い場合、アインシュタイン方程式はニュートン運動方程式に一致しなければならない。

よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

改めて、重力方程式は、



ここで、gμνによって縮約をとる。

すると、左辺と右辺は、



つまり、R=−κTνν である。

これを(*1)に代入すると、



さて、定義(リーマン曲率テンソル)と定義(リッチテンソル)を改めて書くと、





つまり、



(★2)より、上式右辺の第2項は 0 である。(※P3(3))

(★1)より、上式右辺の第3項と第4項は 0 である。

よって、



また、(★1)より、次が成り立つ。(※gμν=ημν+hμν



一方、圧力 0 の流体として局所ローレンツ静止系をとると、Tμν=(ρc、0、0、0)である。(※P7)

つまり、T00=ρc であり、T=gaλλa=−ρc である。(※g00λa≒η00λa

よって、(*2)より、次が成り立つ。(※g00λλ≒η00λλ



(*4)と(*5)より、c−2Δφ=2−1κρc である。

一方、ポアソン方程式はΔφ=4πGρである。

よって、κ=8πG/c である。

参考 ( 静的重力場、定常重力場 )

次の条件を考える。

(*1) gμν は x に依存しない。

(*2) g0k=0 (k=1、2、3)

条件(*1)と(*2)を合わせて 『 静的重力場 』 という。

条件(*2)を 『 定常的重力場 』 という。

P11 ( シュヴァルツシルト解 )

静的で球対称な時空を考える。

極座標(xμ)=(ct、r、θ、φ)を採用する。

このとき、距離 ds は次のように表される。



とくに、重力が十分小である場合、

補足

r が r に近づくと、ミンコフスキ時空からのズレが大きくなる。

そのズレの程度は r/r で与えられる。

補足

(1)を 『 シュヴァルツシルト解 』 という。

(2)を 『 シュヴァルツシルト半径 』 という。

補足

よく知られているように、力学の運動方程式は条件に応じて様々な解をもつ。

アインシュタイン方程式も同様である。

ただし、一般にアインシュタイン方程式を解くことは非常に難しい。

そこで、静的な球対称性を仮定してアインシュタイン方程式を解く。

それが今回のシュヴァルツシルト解である。

シュヴァルツシルト解は 「 空間座標の原点に静止している物体が作る重力場 」 を意味する。

つまり、これは最も基本的な解である。

(1)の証明

球対称の時空を考えるので極座標(xμ)=(ct、r、θ、φ)を採用する。

ミンコフスキ空間の場合、ds=(−cdt)+dr+r(dθ+sinθdφ)である。

また、その計量は(gμν)=diag(−1、1、r、rsinθ)である。

一般の場合、計量の成分で定数であるものは r の関数となる。(※球対称性、静的)

つまり、(gμν)=diag(g00(r)、g11(r)、r、rsinθ)である。

よって、ds=g00(r)(cdt)+g11(r)dr+r(dθ+sinθdφ)である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(ct、r、θ、φ)と(c(t+Δt)、r+Δr、θ、φ)の距離を考える。

これは ds=g00(r)(cΔt)+2g01(r)(cΔt)Δt+g11(r)Δr である。

ここで、時間反転 t’=−t を行う。

すると、(ds’)=g00(r)(cΔt)−2g01(r)(cΔt)Δt+g11(r)(Δt) である。

いま、ds は時間対称性(時間反転に対する不変性)をもつ。(※静的)

つまり、(ds’)=ds である。

よって、g01=0 である。

同様に、g02=0、g03=0 である。

問題の時空が十分遠方でミンコフスキ時空と一致すると要請することは自然である。

よって、g00<0 であり、g11>0 である。(※ミンコフスキ計量)

そこで、g00=−eν、g11=eμ ( ただし ν=ν(r)、μ=μ(r) である ) とおく。

つまり、ds=−eν(cdt)+eμdr+r(dθ+sinθdφ)である。(★2)

つまり、(gμν)=diag(−eν、eμ、r、rsinθ)である。(★3)

むろん、(gμν)=diag(−e−ν、e−μ、r−2、r−2sin−2θ)である。(※gμνは gμνの逆行列)

計算すると、次のような結果を得る。(※P3:クリストフェル記号)









−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上記の結果は、例えば、次のように得られる。(※静的)



この計算ではアインシュタインの規約を忘れないように注意。

また、∂κ0がκ=0の場合のみ残ることに注意。(※計量は対角行列)

また、時間微分 ∂κ1 は 0 となることに注意。(※静的)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

また、リッチテンソルに対しては次のような結果を得る。











−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上記の計算は面倒である。

ここでは R00 を計算してみよう。

定義(リーマン曲率テンソル)、定義(リッチテンソル)を改めて書く。





よって、



よって、



(*)右辺の各項は次のように計算できる。(※静的、アインシュタインの規約に注意すれば簡単)







以上を(*)に代入すると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

アインシュタイン方程式の左辺を Gμν=Rμν−2−1μνR とおく。

ここに、上記の結果を代入すると、









一方、アインシュタイン方程式の右辺は 0 である。(※物質の分布は中心部のみなので Tμν=0 )

つまり、アインシュタイン方程式は Gμν=0 である。

よって、



また、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*1)より、r(1−e−μ)は r に依存しない定数である。

そこで、これを r とおく。

つまり、eμ=(1−r/r)−1 である。(★★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*2)より、dμ/dr+dν/dr=0 である。

よって、ν=−μ+C ( C は積分定数 ) である。

つまり、eν=C’e−μ=C’(1−r/r) である。(★★2)

ただし、C’=e である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★★1)と(★★2)を(★2)に代入すると、



ここで、C’dt を dt に置き換えてよい。

なぜなら、この置き換えは積分定数 C として 0 を採用することを意味するからである。

よって、

(2)の証明

重力が十分小である場合、gμν=ημν+hμν と表せる。

既に示したように、h00=−2φ/c である。(※P10の証明)

また、x が十分小ならば (1−x)−1=−(1−x) である。(※テイラー展開による近似)

よって、−(1−r/r)=g00=η00+h00=−(1+2φ/c)である。

よって、r=2GM/c である。(※φ=−GM/r)