テンソルの基礎

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参考

テンソルの定義は、話をどこまで一般化するかによって変化する。

このページではとくに分かりやすいテンソルを定義する。

定義 ( (1、2)テンソル )

A=(A)を3×3次正則行列とする。

(Tjk)を実数の組とする。

( つまり、3×3×3=27個の実数である )

−1=()とおく。

次のように定義する。



このように変換される(Tjk)を 『(1、2)テンソル 』 という。

つまり、テンソルは立体的に並んだ数である。

さらに高階のテンソルを考えることもできる。

上に書いたのは(1、2)テンソルの定義だが、(2、3)テンソルの定義も予想がつくであろう。

実際に書くと、次のようになる。

定義 ( (2、3)テンソル )

A=(A)を3×3次正則行列とする。

(Tijkpq)を実数の組とする。

( つまり、3×3×3=27個の実数である )

−1=()とおく。

次のように定義する。



このように変換される(Tijkpq)を 『(2、3)テンソル 』 という。

注意

ところで、上の定義では、添え字が上下に付いていることが分かる。

これは 『 アインシュタインの規約 』 である。

アインシュタインの規約とは、上下に1回ずつ現れる添え字について和をとる規則である。

だから、本当は、上に書いた萩L号は書かなくてよい。

参考

いままでの復習も兼ねて、各階数の変換則を書いておこう。

(1、2)テンソルの変換則は、



(2、3)テンソルの変換則は、



(1、0)テンソルの変換則は、

線形代数を学んだことがある人ならば、最後の式には見おぼえがあるだろう。

(1、0)テンソルの変換則はベクトルの座標変換公式と同じ形である。

実際、ベクトルの座標変換公式は、



この意味で、テンソルの変換則は、座標変換の一般化である。

つまり、(1、0)テンソルはベクトルである。

ただし、その変換則に該当するものをベクトルと呼んでいるだけである。

(p、q)テンソルを 『 p階反変q階共変テンソル 』 という。

(1、0)テンソルを 『 反変ベクトル 』 という。

(0、1)テンソルを 『 共変ベクトル 』 という。

私たちがよく知っているベクトルは、テンソルの世界の反変ベクトルと同じ変換則に従うというわけである。

この意味で、テンソルはベクトルの一般化である。