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参考 ( 概要 )

テンソルの定義は次のように分類できる。

(0) 正統流:多重線形写像として定義する。

(1) 数学流:テンソル積を基底とするベクトル空間として定義する方法

(2) 物理流:テンソル成分の変換則のみをそのまま定義として採用する方法

このページでは(1)と(2)の方法について議論する。

実は、テンソル計算は座標変換に依存しない。

物理的に言えば、これは 「 物理法則は座標変換に依存しない 」 を意味する。

これはアインシュタインの 『 相対性原理 』 として知られている。

つまり、テンソル計算の座標変換不変性さえあれば、とりあえず物理的な議論はできる。

そこで、テンソル計算の座標変換不変性を直接にテンソルの定義として採用する。

それが物理流である。

ただし、物理流だけをそのまま採用するとテンソルに対する直観的な理解を得にくい。

ゆえに、数学流も必要となる。

図示すると、

P1 ( ベクトルの基底変換公式、成分変換公式 )

V をベクトル空間とする。

{ e、e } と { e’、e’ } を V の基底とする。

いま、次の形で表せる。



ここで、次のようにおく。



すると、



補足

A を 『 Vの基底変換行列 』 という。

(1)を 『 基底変換公式 』 という。

(2)を 『 成分変換公式 』 という。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

いま、





よって、

定義 ( 双対空間 )

V と V をベクトル空間とする。

{ e、e } と { e’、e’ } を V の基底とする。

{ f、f } と { f’、f’ } を V の基底とする。

A=(a) を { e、e } から { e’、e’ } への基底変換行列とする。

つまり、



さらに、B=A−1=(b)に対して次が成り立つとする。



このとき、V を 『 Vの双対空間 』 という。

また、f を 『 e の双対基底 』 という。

また、f’ を 『 e’ の双対基底 』 という。

を f(e)=δ で定義する本もある。

この定義は参考(概要)の(0)で述べた 『 正統流 』 である。

ここから(*2)を導ける。

ただし、このページではそこまで掘り下げる必要はないので省略する。

P2 ( 双対空間の基底変換公式、成分変換公式 )

を双対空間とする。

{ e、e } を V の基底とする。

{ f、f } を { e、e } の双対基底とする。

A を { e、e } から { e’、e’ } への基底変換行列とする。

B=A−1 とおく。

次のようにおく。



このとき、



証明

(2)は定義(双対空間)そのままである。

(2)より、



一方、



よって、

定義 ( テンソル積〜その1 )

V と W をベクトル空間とする。

{ e、e } を V の基底とする。

{ a、a } を W の基底とする。

ここで、次の記号を定める。



これらを基底として実係数をもつ4次元ベクトル空間を次のように表す。



これを 『 V と W のテンソル積 』 という。

つまり、S∈V○W は Sij○a の形で表せる。

規約 ( テンソル積の計算 )

v=v+v、w=w+w に対して次のような計算を規約する。



つまり、テンソル積の計算には分配法則を採用する。

ちなみに、和と積が定義された代数系には分配法則が採用されることが多い。

任意の S∈V○W を v○w の形で表すことはできない。

例えば、e○a+e○a を v○w の形で表すことはできない。

つまり、v○w 全体は V○W の真部分集合である。

定義 ( 混合テンソル〜数学流 )

V を n 次元ベクトル空間とする。

{ e、・・・、e } を V の基底とする。

{ f、・・・、f } を { e、・・・、e } の双対基底とする。

次のように定義する。



ただし、V は r 個だけ並び、Vは s 個だけ並んでいるとする。

このとき、T(V)を 『 r 階共変 s 階反変混合テンソル空間 』 という。

あるいは、これを 『 (r、s)テンソル空間 』 という。

むろん、T(V)の元は次の形で表される。



ここで、各 i や j は { 1、・・・、n } のいずれかである。

つまり、T(V)の基底は n(r+s)個の元から成る。

とくに、(r、0)テンソル空間を 『(r階)反変テンソル空間 』 という。

また、(0、s)テンソル空間を 『(s階)共変テンソル空間 』 という。

むろん、ベクトル空間 V は(1、0)テンソル空間と見なせる。

この視点を強調するために、ベクトル空間の元を 『 反変ベクトル 』 と呼ぶこともある。

むろん、双対空間 V は(0、1)テンソル空間と見なせる。

この視点を強調するために、双対空間の元を 『 共変ベクトル 』 と呼ぶこともある。

定義 ( テンソル積〜その2 )

、・・・、e を V の基底とする。

S=Sij○e を T(V)の元とする。

T=T を T(V) の元とする。

次のように定める。



つまり、S○T の成分は n 個である。

S∈T(V)、T∈T(V)の場合、S○T の成分は nr+s 個である。

定義 ( 縮約 )

ijpq○e○f○f∈T(V)とおく。(★1)

j=p となる成分を抜き出して和を取る。

さらに、e○e○f○f から e と f の部分を消す。

すると、Tijjq○f∈T(V)となる。(★2)

このとき、(★2)を 『(★1)の j と p に関する縮約 』 という。

つまり、(r、s)テンソルを縮約すると、(r−1、s−1)テンソルになる。

例えば、T(V)の元を考えてみよう。



これを j と k について縮約すると、

定義 ( 縮合 )

テンソル積をとった後で縮約することを 『 縮合 』 という。

例えば、S○f と T を i と p について縮合してみよう。

まず、テンソル積は S○f○f である。

j と p について縮約すると、S である。

P3 ( テンソルの変換則 )

e’=a ( e=be’ ) を基底変換とする。

このとき、



むろん、(0)は次の(1)(2)などを意味する。



補足

つまり、座標 E から E’への変換では成分について次が成り立つ。

(*) 1個の e に対して b を1個付ける。( e=be’

(*) 1個の f に対して a を1個付ける。( f=af’

補足

つまり、座標 E’ から E への変換では成分について次が成り立つ。

(*) 1個の e’ に対して a を1個付ける。( e’=a

(*) 1個の f’ に対して b を1個付ける。( f’=b

(1)の証明

⇔の左側を仮定する。

いま、



両辺に a を掛けると、



よって、



一方、仮定より、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

⇔の右側を仮定する。

いま、

(2)の証明

⇔の左側を仮定する。

いま、



よって、



一方、仮定より、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

⇔の右側を仮定する。

いま、

P4 ( テンソル計算の座標変換不変性 )

テンソルに対して次が成り立つ。

(1) 「 線形性(和とスカラー倍)」 と 「 基底変換 」 は可換である。

(2) 「 テンソル積 」 と 「 基底変換 」 は可換である。

(3) 「 縮約 」 と 「 基底変換 」 は可換である。

補足

つまり、テンソルの計算は座標に依存しない。

(1)の証明

S、T∈T(V)について確認する。

まず、計算してから基底変換を行うと、次を得る。(※P3の補足)



また、基底変換してから計算すると、

(2)の証明

S∈T(V)、T∈T(V)の元について確認する。

まず、計算してから基底変換を行うと、次を得る。(※P3の補足)



また、基底変換してから計算すると、

(3)の証明

S∈T(V)について確認する。

まず、縮約してから基底変換を行うと、次を得る。(※P3の補足)



一方、基底変換してから縮約すると、

参考 ( 縮約の本質はδを作ること )

P4(3)証明の要点は 「 b=δ によって上添字と下添字が消えること 」 である。

これが 「 縮約によって上添字と下添字が消える理由 」 である。

上添字同士や下添字同士の場合、うまくδを作ることができない。

つまり、座標変換不変性が失われてしまう。

ただし、基底変換行列が直交行列である場合は上添字同士や下添字同士の縮約も可能である。

このことを確認してみよう。

A=(a)を直交行列とする。

つまり、AA=I であり、A−1=A である。

B=(b)=A−1 とおく。

いま、b=a である。

よって、



これは P3 で述べた変換則を満たしている。

そして、P4(テンソル計算の座標変換不変性)の証明は P3 に基づいている。

つまり、(*)は、この縮約が座標変換不変であることを意味する。

定義 ( 混合テンソル〜物理流ver )

=ax’ ( x’=b ) を座標変換とする。

つまり、b=δ である。

ある数の組 S=(S・・・i・・・j)が存在して次を満たすとする。



このとき、S・・・p・・・q を 『 座標系 E における(r、s)テンソルの成分 』 という。

また、S’・・・i・・・j を 『 座標系 E’における(r、s)テンソルの成分 』 という。

つまり、物理流の定義では基底を表に出さない。

明らかに、P4(テンソル計算の座標変換不変性)の証明は P3 による。

そこで、P3 を直接的にテンソルの定義として採用し、これを 『 物理流 』 と呼ぶのである。

むろん、定義(混合テンソル〜物理流)に対しても P4(テンソル計算の座標変換不変性)は成り立つ。