テンソル積〜剰余類による構成

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定義 ( 剰余類 )

V をベクトル空間とする。

S を V の部分空間とする。

v、w∈V とおく。

v−w∈S であるとする。

このような関係を v〜w と表す。

このとき、明らかに、〜 は同値関係である。

つまり、V の元を同値類によって分類できる。

このような同値類を 『 S を法とする剰余類 』 という。

={ w∈V|a〜w } とおく。

このとき、X/〜={ C|v∈V } は同値類全体を意味する。

X/〜 を 『 商集合 』 という。

同値類(あるいは剰余類)は、集合を重複なく、余すことなく、綺麗に分割することを意味する。

このことを 『 直和分割 』 という。

剰余類という用語は代数学によく登場する。

代数学の場合は、もう少し話を一般化して、群について剰余類を考える。

定義 ( テンソル積〜V○W )

V、W を 上のベクトル空間とする。

v∈V、w∈W に対して組(v、w)を考える。

(v、w)全体によって生成される 上のベクトル空間を V*W と表す。

つまり、V*W とは、(v、w)に実数を掛けた有限和 狽求iv、w)全体である。

ここで、V*W の元で、次の形のものを考える。

(*1) (v+v、w)−(v、w)−(v、w)

(*2) (v、w+w)−(v、w)−(v、w

(*3) (kv、w)−k(v、w)

(*4) (v、kw)−k(v、w)

さらに、(*1)〜(*4)全体によって生成されるベクトル空間を S と表す。

S を法とする剰余類全体によって構成されるベクトル空間を V○W と表す。

このとき、V○W を 『 V と W のテンソル積 』 という。

P1

S を定義(テンソル積)の意味でとる。

このとき、次が成り立つ。



つまり、一般化してまとめると、

(1)の証明

次のように表せる。



よって、これは S に属する。

(2)の証明

(1)と同様である。

定義 ( テンソル積〜v○w )

V*W の元は、狽求iv、w)と表せる。

以下、狽求iv、w)が属する剰余類を狽汲磨宸 と表す。

このとき、

「 それだと、狽求iv○w)、煤ikv)○w、狽磨宦ikw)の区別が付かなくなってしまうのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、心配はいらない。

なぜなら、これらは同じ剰余類に属するからである。(※P1)

P2

次が成り立つ。



つまり、一般化してまとめると、

証明

明らかである。(※定義(テンソル積〜V○W)下の注意、P1、定義:剰余類)

P3

V、W を有限次元ベクトル空間とする。

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

{ w、・・・、w } を W の基底とする。

このとき、次は V○W の基底である。

補足

つまり、dimV○W=mn である。

証明

v○w∈V○W とおく。

いま、v∈V、w∈W である。

よって、v=、w= と表せる。

よって、v○w=i、j○w である。

参考

このページでは2つのベクトル空間から構成されるテンソル積を扱った。

さらに、3つ以上のベクトル空間から構成されるテンソル積を考えることもできる。

また、計算法則も全く同じである。