電磁波の発生(実は、電場は磁場をつくらない )

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復習 ( スカラーポテンシャルの存在条件、ベクトルポテンシャルの存在条件 )

(1) 任意のスカラー場φに対して ∇×(∇φ)=0 が成り立つ。

(2) ベクトル場 v が ∇×v=0 を満たすならば、あるスカラー場φが存在して v=∇φとなる。

(3) 任意のベクトル場 v に対して ∇・(∇×v)=0 が成り立つ。

(4) ベクトル場 v が ∇・v=0 を満たすならば、あるベクトル場 A が存在して v=∇×A となる。

復習 ( 公式 )

(1) スカラー関数φに対して ∇×(∇φ)=0 である。

(2) ベクトル場 v に対して ∇×(∇×v)=∇(∇・v)−∇ である。

復習 ( 静電ポテンシャル )

電荷密度ρ(r’)によって生じる静電ポテンシャルは、

復習 ( ベクトルポテンシャル )

電流密度 j(r’) によって生じるベクトルポテンシャルは、

定義 ( 変位電流 )

物質中のマクスウェル方程式に対し、∂D/∂t を 『 変位電流 』 という。

真空中のマクスウェル方程式の場合は、ε∂E/∂t を 『 変位電流 』 という。

上記の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、2枚の極板から成るコンデンサに電流 I が流れ込むとする。

いま、極板上の電荷 Q に対して dQ/dt=I が成り立つ。

また、よく知られているように、E=Q/εS である。

よって、∂E/∂t=I/εS である。(★)

ここで、導線を囲む閉曲線 C を考える。

S を、C を縁とする曲面とする。

いま、曲面 S として次の2つを考えることができる。

(1) C によって囲まれる平面 ( つまり、この面は導線を横切る )

(2) 極板間の空隙を通る曲面

図示すると、



ここで、真空中のマクスウェル方程式(M4)に注目する。



(1)の場合、



(2)の場合、(★)より、



つまり、いずれにおいても同じ結論を得る。

また、ε∂E/∂t が電流と同等の役割をもつことが分かる。

これが変位電流と呼ばれる由来であろう。

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次に、コンデンサの極板間が誘電率εの誘電体でみたされている場合を考える。

ここで、物質中のマクスウェル方程式(M4)に注目する。



(1)の場合、



(2)の場合、D=εE、E=Q/εS、∂Q/∂t=I より、



やはり、同じ結論を得る。

また、∂D/∂t が電流と同じ役割をもつことが分かる。

定義 ( ローレンツゲージ )

φを静電ポテンシャルとする。

をベクトルポテンシャルとする。

このとき、∇・A+(1/c)・∂φ/∂t=0 を 『 ローレンツゲージ 』 という。

P1 ( 時間変動する電磁場におけるポテンシャル )

(r、t)を時間変動する電場とする。

このとき、

(1) ある A が存在して B=∇×A となる。

(2) あるスカラー関数φが存在して E=−∇φ−∂A/∂t となる。

補足

よく知られているように、電場が時間変化しない場合、E=−∇φ となる。

このφは静電ポテンシャルと呼ばれる。

時間変化がない場合、明らかに、スカラーポテンシャルは静電ポテンシャルに一致する。

補足

つまり、静電磁場では B=∇×A と E=−∇φ が成り立つ。

ただし、上にも書いてあるように、前者は時間変化を含めて成り立つが、後者は成り立たない。

(1)と(2)の証明

マクスウェル方程式を改めて書く。

(M2) ∇×E=−∂B/∂t

(M3) ∇・B=0

いま、(M3)より、ある A が存在して B=∇×A と表せる。(復習:ベクトルポテンシャルの存在)(★)

よく知られているように、この A を 『 ベクトルポテンシャル 』 という。

関係(★)は(M3)の帰結であり、時間変動の有無に関わらず成り立つ。

(★)と(M2)より、∇×(E+∂A/∂t)=0 である。

よって、あるφが存在して E+∂A/∂t=−∇φと表せる。(※復習:スカラーポテンシャルの存在)

つまり、E=−∇φ−∂A/∂t である。

P2 ( 遅延ポテンシャル )

時間変化を含むマクスウェル方程式を解くと、



補足

上式を 『 遅延ポテンシャル 』 という。

t’=t−|r−r’|/c を 『 遅延時間 』 という。

証明〜その1(直観的)

位置 r’ のρや j の影響が位置 r に伝達するまでに時間がかかる。

その時間は|r−r’|/c である。

一方、時間変化がない場合は次のように表せる。(※復習:静電ポテンシャル、ベクトルポテンシャル)



よって、(1)と(2)を得る。

証明〜その2

いま、B=∇×A である。(※P1)(★1)

また、E=−∇φ−∂A/∂t である。(※P1)(★2)

いま、(★1)と(★2)より、マクスウェル方程式(M2)と(M3)は自動的に成り立つ。(※復習:公式)

また、(★1)と(★2)より、M1は次のように表される。



ここで、ローレンツゲージを条件として課す。

改めて、ローレンツゲージをここに書くと、∇・A+(1/c)∂φ/∂t=0 である。

ただし、この条件を追加することで一般性が失われることはない。

なぜなら、A が任意性をもつことで ∇・A として任意のスカラー関数を選べるからである。

(*1)にローレンツゲージを追加すると、



一方、(★1)と(★2)より、(M4)は次のように表せる。



さらに、次のように変形できる。(※復習:公式、定義:ローレンツゲージ)



この(*2)と(*3)は、マクスウェル方程式と等価である。

また、遅延ポテンシャル(1)と(2)は、(*2)と(*3)の一般解となっている。

P3 ( 電場と磁場は、電荷と電流によってのみ生じる )

時間変化を含めると、電流と磁場は次のように表される。



(1)の証明

t’=t−|r−r’|/c を遅延時間とする。

いま、





よって、P2より、





よって、P1より、

(2)の証明

t’=t−|r−r’|/c を遅延時間とする。

P2より、



上式の両辺について ∇× をとると、



上の計算において ∇× は r=(x、y、z)のみに作用し、r’=(x’、y’、z’)には作用しない。

ゆえに、∇× と ∫ の順番を入れ替えてよい。

この x 成分は、



上式右辺の被積分関数の1項と2項は次の x 成分である。



ただし、次のことに注意する。





また、第3項は次の x 成分である。



ただし、次のことに注意する。





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の y 成分と z 成分についても同様に導かれる。

以上により、

参考 ( 実は、電場は磁場をつくらない )

電磁気学の教科書では、

(1) 「 磁場が時間変化すると電場が生じる 」

(2) 「 電場が時間変化すると磁場が生じる 」

・・・という表現が用いられる。

また、このサイトでも同様の表現を用いている。

ただし、これは、

(3) 「 磁場の時間変化によって電場が生じる 」

(4) 「 電場の時間変化によって磁場が生じる 」

・・・という意味ではない。

実際、電場と磁場は、電荷密度と電流密度によってのみ記述されている。(※P3)

つまり、(1)と(2)は電場と磁場の 「 相関関係 」 であり、因果関係ではない。

以下、この辺りについて詳しく見てみよう。

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マクスウェル方程式(M2)を改めて書く。



これは 『 ファラデーの法則(電磁誘導の法則)』 である。

上式は磁場の時間変化によって電場が生じることを意味しているように見えるかもしれない。

しかし、実際にはそうではない。

(M2)の主張は、電場と磁場の因果関係ではなくて、相関関係である。

このことを確認しよう。

まず、左辺の E(r、t) は C 上の値である。

また、右辺の E(r、t) は S 上の値である。

つまり、上式の両辺は異なる場所における同時刻の値である。

しかし、実際に作用が伝わるまでには時間がかかる。

つまり、(M2)は電場と磁場の因果関係を示した式ではない。

では、(M2)は何を意味するのか?

まず、電場や磁場は全空間に分布した電荷と電流によってのみつくられる。(※P3)

(M2)は、そのような電場と磁場の間にある厳密な相関関係を記述している。

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次に、(M2)の微分形に注目しよう。



この式の両辺は 「 同じ位置・同じ時刻 」 に関する主張である。

ゆえに、これは磁場の時間変化が電場をつくる式であると誤解されやすい。

既に述べたように、電場と磁場は全空間に分布した電荷と電流によってのみつくられる。(※P3)

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次に、(M4)の微分形に注目しよう。



この式には電流が現れている。

ゆえに、この式に現れている B が、この式に書かれている電流によって生じていると誤解される。

しかし、この B や E は 『 過去 』 の電荷と電流によって生じたものである。