時計のパラドクスに対する詳細な説明

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参考 ( 時計のパラドクス )

一般によく知られているように、物体が速度をもつと時間の流れは遅くなる。

そこで、以下のような状況を考えてみよう。

2人の人間 A と B がいるとする。

B はロケットで地球を出発して星 X まで行き、往復して地球に戻るとする。

いま、B の時間の流れは A より遅いはずである。

ここで、視点を変えてみよう。

運動は相対的であるから、B が静止していて A が動いていると考えてもよいだろう。

すると、今回は A の時間の流れは B より遅いはずである。

このようなパラドクスを 『 時計のパラドクス 』 という。

このサイトでは時計のパラドクスに対して次の2通りの説明を与える。

(*1) ミンコフスキ時空上で詳細に議論する。

(*2) 高校生にも分かるように簡単に説明する。

単に時間の大小が逆になることを理解する場合には(*2)で十分である。

一方、時間の比が逆転することを理解する場合には(*1)が必要である。

(*2)については最後に述べる。

定義 ( ミンコフスキ時空〜初等ver )

(ct、x、y、z)を座標とする。

2点(ct、x、y、z)と(ct、x、y、z)の距離 s を次のように定める。

(*) s=−c(t−t+(x−x+(y−y+(z−z

このような距離 s が定められた空間を 『 ミンコフスキ時空 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

まず、通常の空間座標(x、y、z)の原点で光を放射する。

いま、この光が t 秒後に到達する点全体は x+y+z=(ct) で表される。

つまり、−c+x+y+z=0 である。

よって、距離 s がミンコフスキ時空において意味をもつと推測することは自然である。

参考 ( ミンコフスキ時空のローレンツ変換不変性 )

ミンコフスキ時空の距離 s はローレンツ変換に対して不変である。

2次式 −c+x+y+z=0 が不変となるように定義された線形変換がローレンツ変換である。

参考 ( 座標軸の傾斜 )

S と S’を慣性系とする。

S を基準にして空間1次元ミンコフスキ時空を考える。

S’は S において速度 v で移動しているとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) x’=0 の傾斜は c/v である。

(2) t’=0 の傾斜は v/c である。

証明

既知とする。

定義 ( 時間的、空間的、光的 )

ミンコフスキ時空における2点 A と B の距離を s12 と表す。

12<0 であるとき、「 A と B の距離は時間的である 」 という。

12>0 であるとき、「 A と B の距離は空間的である 」 という。

12=0 であるとき、「 A と B の距離は光的である 」 という。

定義 ( 固有時間 )

次のように定義する。



このとき、τを 『 固有時間 』 という。

以下で確認するように、dt=γdτ となることに注意。

ただし、



つまり、光と共に移動する座標系では時間は経過しない。

簡単に言えば、固有時間は 「(空間的に)静止している時計が表示する時刻 」 を意味する。

以下、このことを確認する。

慣性系 S において速度 v で移動する時計を考える。

S’を時計が(空間的に)静止する慣性系とする。

いま、v=(dx+dy+dz1/2/dt である。(★1)

また、dx’+dy’+dz’=0 である。(★2)

(★1)より、ds=−cdt+dx+dy+dz=−cdt(1−v/c)=−cγ−2dt である。

(★2)より、ds=−cdt’ である。

よって、dt=γdt’である。

そこで、dτ=dt’=(1/γ)dt=−(1/c)ds と定義する。

つまり、固有時間τは(空間的に)静止している時計が表示する時刻を意味する。

別の視点から固有時間の定義を考えてみよう。

ニュートン運動方程式 F=ma を修正してローレンツ変換不変となるようにしたい。

どうすればよいだろう?

ニュートン力学において質点の位置 xμ は時間 t の関数として表される。

むろん、これは時間が空間と無関係であることを前提としている。

しかし、相対性理論において時間と空間は無関係ではない。

この部分を修正しなければならない。

そこで、ローレンツ変換に対して不変なパラメータを見つけ、これによって xμ を表示したい。

むろん、ローレンツ変換不変なパラメータとして距離 Δs は候補である。

しかし、困ったことに、通常の物体の運動に対して Δs<0 である。

まず、このことを確認しよう。

通常の物体に対して v=Δx/Δt<c である。

また、Δs=ημνΔxμΔxν=−c(Δt)+(Δx である。(★3)

よって、Δs<0 である。

このようにパラメータが負であると都合が悪い。

そこで、Δs=−c(Δτ) とおく。(★4)

むろん、(★3)と(★4)より、

明らかに、定義 −c(Δτ)=ημνΔxμΔxν より、τはローレンツ変換に対して不変である。

参考 ( ミンコフスキの不等式 )

ミンコフスキ不等式における点 P、P、P は互いに時間的であるとする。

それぞれの時刻は t<t<t であるとする。

このとき、τ13≧τ12+τ23 である。

証明

定義(固有時間)より、物体の固有時間は速度が大きいと遅くなる。

また、P→P と P→P→P を比較すると、空間的な移動に必要な速さ P→P の方が小さい。

よって、τ13≧τ12+τ23 である。

ちなみに、τ13≧τ12+τ23 の右辺が 0 となるのはどのようなときであろうか?

それを考えるために x 軸に鏡をおく。

で光を放射して、鏡に反射した光を P が観測するとする。

この時点の鏡に P をおくと、τ12+τ23=0 となる。

むろん、τ13≧τ12+τ23 の等号は3点が互いに光的である場合にのみ成り立つ。

つまり、3点は同一直線上になる。

参考 ( 時計のパラドクス〜解決偏 )

まず、改めて時計のパラドクスを復習しよう。

2人の人間 A と B がいるとする。

A は地球に残るとする。

B はロケットで地球を出発して星 X まで行き、往復して地球に戻るとする。

ここで、ロケットは等速直線運動であるとし、その速さを V とする。

B が地球を出発して星 X に到達するまでの時間を A の時計で Δt とし、B の時計で Δt とする。

いま、定義(固有時間)より、



つまり、Δt は Δt より小さい。

しかし、運動は相対的であるから、B が静止していて A が動いていると考えてよいだろう。

すると、



つまり、Δt と Δt の比は逆転している。

なぜ、このような矛盾が生じるのであろうか?

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

地球 O と星 X の距離を L とする。

図示すると、



いま、B が O から F まで移動したとする。

S の同時刻線は EF であり、S’の同時刻線は DF である。

つまり、E=(cΔt、0)、D=(Δt、0) である。

次に、B が F から H まで移動したとする。

S の同時刻線は EF であり、S’’の同時刻線は FG である。

つまり、A から見て B の時間は OD+GH である。

むろん、これは A から見た A の時間 OE+EH より小さい。

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では、時計のパラドクスでは何が起きたのか?

その話では B から見て A が動いていると考えた。

これは先の図で ct’ を縦に見ることに相当する。



既に確認したように A の同時刻線は EF である。

つまり、Δt は OE であることに変化はない。

しかし、パラドクスの話では B が基準になっている。

よって、A の同時刻線が EF’ に平行であるかのように錯覚する。

これによって Δt と Δt の比が逆転してしまう。

参考 ( 高校生にも分かる説明 )

時計のパラドクスでは、

「 運動は相対的なので B の代わりに A が動いていても同じ 」

・・・と説明されている。

ここがトリックである。

この説明文には 「 慣性系 」 に関する記述が抜けている。

「 代わりに A が動く 」 は、視点が B になることを意味する。

その場合は 『 A が静止しているように見える慣性系 』 も A と共に動かなければならない。

『 Aの静止系 』 と 『 Bの静止系 』 が入れ替わっているのでパラドクスが生じる。