統計物理学の紹介

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参考 ( 統計物理学という名称 )

統計力学、統計物理学、統計熱力学は概ね同じ意味である。

古典力学の立場で議論する場合に 『 古典統計力学 』 という。

量子力学の立場で議論する場合に 『 量子統計力学 』 という。

参考 ( 統計物理学とは何か? )

よく知られているように、力学では 『 運動方程式 』 が基本的である。

運動方程式は F=mx・・ で表される。

つまり、力学において系の状態は位置 x=(x、x、x) によって記述される。

一方、統計物理学では 『 位置 』 と 『 運動量 』 によって系の状態を記述する。

つまり、(x、p)である。

これを 『 相空間 』 という。

つまり、物体の状態は相空間上の点として記述される。

むろん、1個の粒子に注目する場合、(x、p)=(x、x、x、p、p、p) である。

むろん、N個の粒子に注目する場合、(x、p)=(x、・・・、x3N、p、・・・、p3N) である。

つまり、6N次元相空間である。

むろん、計算の都合を考えて 6N を N として議論しても本質的に同じである。

むろん、全系の状態は相空間上の一点で表される。

統計物理学では相空間上の点集合を議論する。

よって、統計物理学の議論では 『 積分 』 が重要である。

統計物理学という名称から、その前提知識として統計学が必要だろうと予想する人がいるかもしれない。

たしかに、統計物理学の基礎には統計学も含まれる。

しかし、統計物理学の初歩を学ぶときに統計学の知識はそれほど必要ではない。

統計物理学の初歩を学ぶときに必要な知識は、本当に基本的な物理学の知識のみで十分である。

参考 ( 熱力学と統計力学 )

複数の質点から成る系を 『 質点系 』 という。

よく知られているように、質点系は力学で議論される。

この議論は2つの質点の運動に対する議論よりも複雑である。

これは当然である。

なぜなら、質点の個数が増加すると、系の自由度が増加する。

つまり、系を記述するために必要な変数が増加する。

変数が増加すれば、それに伴う計算も複雑になる。

さて、1モルの物質は 6・1023 個という膨大な分子から成る。

よって、マクロスケールの物理現象を記述するためには多量の変数が必要となる。

しかし、よく知られているように、熱力学では理想気体から成る系の状態は次の方程式だけで記述される。

(*) PV=nRT

この(*)は 『 理想気体の状態方程式 』 と呼ばれる。

つまり、マクロスケールの状態が熱力学変数 P、V、T のみで記述される。

つまり、系を構成する粒子数の増加が系の複雑性につながるとは限らない。

むしろ、記述がシンプルになる。

つまり、マクロ系を議論する方法には次の2通りがある。

(1) マクロ系をマクロ変数 ( P、V、T など ) によって議論する。

(2) マクロ系をミクロ変数 ( 位置、運動量 ) によって議論する。

(1)は 『 熱力学 』 に相当し、(2)は 『 統計物理学 』 に相当する。

参考 ( なぜ熱力学は厳密でいられるのか? )

もしかすると、

「 熱力学は統計物理学を大雑把にしたものだろうか? 」

・・・と考える人がいるかもしれない。

しかし、これは正しくない。

実際、熱力学は大雑把な学問ではなくて厳密な学問である。

その理由の1つは 『 中心極限定理 』 にある。

中心極限定理とは 『 統計学 』 において最も基礎的な定理である。

ここで、中心極限定理について説明しておく。

まず、変数 X が M 個の離散値 { x、・・・、x } をとるとする。( この x を 『 Xの実現値 』 という )

ただし、X が x をとる確率を P とする。

このとき、{ P、・・・、P } を 『 Xの確率分布 』 という。

例えば、サイコロを投げる試行において出目を X とする。

いま、確率分布は P=・・・=P=1/6 である。

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さて、次のように定義する。

(*1) 平均 : X=〈X〉=1≦i≦M

(*2) 分散 : σ=〈(X−X

σ を 『 標準偏差 』 という。

平均 X は確率分布の重心を意味し、標準偏差σは確率分布関数の広がりを意味する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上では1つの確率変数 X を考えた。

次に互いに独立した N 個の確率変数 X(1)、・・・、X(N) を考える。

また、X(1)、・・・、X(N) は同一の確率分布に従うとする。

Y=N−1(X(1)+・・・+X(N)) とおく。

明らかに、Yは確率変数である。

では、確率変数 Y の確率分布はどのような形であろうか?

当然、それは X(1)、・・・、X(N) の確率分布に依存する。

ただし、Yの確率分布は N→∞ で次の形に近づくことが知られている。



これは 『 正規分布 』 と呼ばれる。

また、上記の事実を 『 中心極限定理 』 という。

中心極限定理という名前の由来を説明する。

既に定義したように、Y=N−1(X(1)+・・・+X(N)) である。

このとき、Y=X であり、σ=σ/N である。(※統計学)

つまり、N→∞ で σ→0 である。

つまり、マクロ系は平均値で記述され、平均値のゆらぎは無視できる。

これがマクロ変数のみでマクロ系を厳密に議論できる理由である。