超関数のフーリエ変換

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参考

よく知られているように、不連続関数は微分不可能である。

しかし、超関数の立場では不連続関数も微分できる。

詳しくは以下で議論する。

参考

よく知られているように、フーリエ変換は絶対可積分な関数で議論される。

つまり、∫|f|dx<∞ である場合にフーリエ変換が定義される。

しかし、これは割と厳しい条件である。

実際、定値関数 1 や x を −∞ から ∞ まで積分すると発散してしまう。

しかし、超関数の立場ではこのような関数をフーリエ変換できる。

詳しくは以下で議論する。

定義 ( 汎関数 )

「 関数 」 を入力することで 「 値 」 を出力する関数を 『 汎関数 』 という。

例えば、入力 φ(x) に対して φ(0) を出力する関数は汎関数である。

定義 ( テスト関数 )

φ(x) を、無限回連続微分可能な関数とする。

φ(x)≠0 となる点 x 全体は有界であるとする。( とくに、|x|→∞ で φ(x)→0 となる )

このとき、φ を 『 テスト関数 』 という。

テスト関数全体を D と表す。

定義 ( 急減少関数 )

φ(x) を、無限回連続微分可能な関数とする。

ある定数 M>0 が存在して、任意の k∈ に対して|φ(n)(x)|≦M|x|−k ( n=0、1、・・・ ) となるとする。

このとき、φ を 『 急減少関数 』 という。

急減少関数全体を S と表す。

つまり、急減少関数は、その任意階数の導関数が |x|→∞ で急速に 0 に収束する。

とくに、多項式 P(x) に対して φ(n)(x)P(x)→0 ( |x|→0 ) となる。

例えば、exp(−x) は急減少関数である。

明らかに、急減少関数はテスト関数の条件を厳しくしたものである。

注意

D をテスト関数全体とする。

F を D 上の汎関数とする。

以下、F[φ] を (F、φ) と表す。

定義 ( 超関数 )

D をテスト関数全体とする。

F を D 上の汎関数とする。

次が成り立つとする。

(1) (F、φ+φ)=(F、φ)+(F、φ

(2) (F、cφ)=c(F、φ)

(3) 列(φ)⊂D が n→∞ でφに収束するとき、(F、φ) は (F、φ) に収束する。

ただし、(3)における収束は 「 任意の導関数が一様収束する 」 を意味する。

このとき、F を 『 超関数 』 という。

ここでは超関数の定義域としてテスト関数全体を採用した。

ただし、超関数の定義域はそれ以外でもよい。

例えば、急減少関数全体を定義域として採用してもよい。

むろん、超関数の定義域を広くすると、定義可能な超関数は狭くなる。

逆に、超関数の定義域を狭くすると、定義可能な超関数は広くなる。

よって、状況に応じて適切な定義域を選ぶ必要がある。

例えば、後で超関数のフーリエ変換を議論するとき、定義域としてテスト関数を採用すると不都合が出る。

その場合、急減少関数を定義域として採用する。

詳しくは後で述べる。

よく知られているように、(1)と(2)を 『 線形性 』 という。

つまり、超関数は 『 線形汎関数 』 である。

定義 ( 形式的積分 )

F を超関数とする。

φ をテスト関数とする。

(F、φ)を次のように表示すると、理解しやすい場面が多い。



そこで、(*)を 『 形式的積分 』 と呼ぶことにする。

形式的積分は、形式的な表記であって、積分ではない。

つまり、(*)はリーマン積分でもないし、ルベーグ積分でもない。

しかし、(F、φ) を (*) と見なすことで理解が進む場面が多い。

例えば、既に述べたように、超関数は線形性をもつ。

つまり、(F、cφ+cφ)=c(F、φ)+c(F、φ) である。

このことは形式的積分によって次のように理解できる。(※積分の線形性)

定義 ( 超関数の相等 )

F と G を、超関数とする。

任意のテスト関数 φ に対して (F、φ)=(G、φ) であるとする。

このとき、F=G と表す。

つまり、任意のテスト関数φに対して次が成り立つとき、F=G である。(※形式的積分)

定義 ( 超関数の演算 )

F と G を超関数とする。

g を通常の関数とする。

次のように定義する。



ただし、各記号の詳しい意味は下の補足で述べる。

(5) を 『 F と G のテンソル積 』 という。

(6) を 『 F と g の convolution 』 または 『 g による正則化 』 という。

(1)の補足

x−a を F(x−a) と表すと、次のように理解できる。(※形式的積分、変数変換)

(3)の補足

明らかに、φ∈D ならば φ’∈D である。

なので、(3)の右辺は定義可能である。

また、(3)の式は次式によって理解できる。(※形式的積分、部分積分)

(4)の補足

g は無限回微分可能な通常の関数であるとする。

すると、φ(x)∈D に対して g(x)φ(x)∈D である。

よって、(4)の右辺は意味をもつ。

(5)の補足

(G、φ(x、y)) は、φ(x、y)の x を固定して、y の関数として汎関数 G に入力することを意味する。

つまり、(G、φ(x、y)) は x の関数である。

よって、(G、φ(x、y)) を汎関数 F に入力できる。

式(5)は次式によって理解できる。(※形式的積分、積分の順序交換)

(6)の補足

g は通常の関数であり、g∈D であるとする。

(F、g(x−y)) は、g(x−y) を y のみの関数として汎関数 F に入力することを意味する。

つまり、(F、g(x−y)) は x の関数である。

つまり、F*g(x)=(F、g(x−y)) は通常の関数である。

つまり、g によって F を通常の関数に変換している。

これは次式によって理解できる。



実際、これを F*g(x) を見なすこともできるし、(F、g(x−y)) と見なすこともできる。

(7)の補足

これは次式によって理解できる。(※形式的積分、変数変換)

定義 ( 超関数は関数の一般化である )

を通常の関数列とする。

任意のテスト関数φに対し、次が収束するとする。



ただし、(*1)の積分は通常の積分を意味する。

このとき、その極限値は、ある超関数 F(x) を定める。(★)

その F(x) を limn→∞(x) と表す。

(★)の証明

いま、F はφによって定まる値である。

また、明らかに、これは線形性をもつ。(※積分の線形性)

よって、F は超関数である。

とくに、f が一様収束する場合について考えてみる。

よく知られているように、一様収束では lim と ∫ を交換できる。

よって、(*)は、



一方、超関数 F(x) を形式的積分で視ると、



上の(*1)と(*2)について等号は成り立たない。

実際、(*1)は通常の積分であり、(*2)は形式的積分である。

しかし、limn→∞(x) が F(x) に相当するものであることが分かる。

そこで、F(x) を limn→∞(x) と表すことにしたのである。

この意味で、f が一様収束する場合、F(x) は通常の関数に一致する。

つまり、超関数は関数の一般化である。

P1

(F) を超関数列とする。

任意のテスト関数φに対し、(F、φ) が n→∞ で収束するとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F は、ある超関数 F に収束する。

(2)  limn→∞(F、φ)=(F、φ)

一方、任意のテスト関数φに対し、1≦n≦∞(F、φ) が収束するとする。

このとき、次が成り立つ。

(3) 1≦n≦∞ は、ある超関数 F に収束する。

(4) 1≦n≦∞(F、φ)=(F、φ)

証明

省略する。

P2

(F) を超関数列とする。

(F) は F に収束するとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F’ は F’ に収束する。

一方、1≦n≦∞ が F に収束するとする。

このとき、次が成り立つ。

(2) 1≦n≦∞’ は F’ に収束する。

(1)の証明

次のように計算できる。(※定義:超関数の演算、P1)

(*) limn→∞(F’、φ)=−limn→∞(F、φ’)=−(F、φ’)=(F’、φ)

つまり、limn→∞’=F’ である。

(2)の証明

(1)とほぼ同様である。

定義 ( ディラックのデルタ関数 )

δを超関数とする。

任意のテスト関数φに対して (δ、φ(x))=φ(0) となるとする。

このとき、δ を 『 ディラックのデルタ関数 』 という。

上記の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

いま、1次元空間上に物質が分布しているとする。

その分布は次の関数で表されるとする。



いま、



つまり、分布している物質の総質量は 1 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

φ(x) をテスト関数とする。

いま、ある −b≦η≦b が存在して、次を満たす。(※平均値の定理)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ここで、原点に単位質量をもつ質点を置く。

その分布関数は、p(x)に対して b→0 としたものとして(形式的に)考えることができる。

そこで、次のように定める。



ただし、∞ は通常の数ではない。

つまり、δ(x)は通常の関数としては意味をもたない。

そこで、(*1)において形式的に b→0 とする。



つまり、p(x) に対して直接に b→0 を考えるのではなくて、積分の世界で b→0 を考える。

とくに、φ(x)=1 とすると、



とくに、(*3)はデルタ関数の定義式の形式的積分である。

工学の参考書では(*2)〜(*4)をデルタ関数の定義として採用していることが多い。

P4 ( デルタ関数の計算 )

次が成り立つ。

補足

(4)と(7)は、超関数としての相等を意味する。

(5)は通常の関数としての相等を意味する。

補足

(4)において g(x)=x とすると、xδ=0 である。

よって、x≠0 に対して δ(x)=0 である。

これは定義(デルタ関数)の補足で述べたことに適合する。

(1)の証明

次のように計算できる。

(*) (δx−a、φ(x))=(δ、φ(x+a))=φ(a)

(2)の証明

次のように計算できる。

(*) (δax、φ(x))=|a|−1(δ、φ(x/a))=|a|−1φ(0)

(3)の証明

次の計算を繰り返せばよい。

(*) (dδ/dx、φ(x))=−(δ、dφ(x)/dx)=−φ’(0)

(4)の証明

次のように計算できる。(※超関数の線形性)

(*) (g(x)δ、φ(x))=(δ、g(x)φ(x))=g(0)φ(0)=g(0)(δ、φ(x))=(g(0)δ、φ(x))

よって、g(x)δ=g(0)δである。

(5)の証明

次のように計算できる。

(*) (δ○F、φ(x、y))=(F、(δ、φ(x、y)))=(F、φ(0、y))

とくに、F=δとすると、

(*) (δ○δ、φ(x、y))=φ(0、0)

(6)の証明

次のように計算できる。

(*) δ*g(x)=(δ、g(x−y))=g(x)

(7)の証明

次のように計算できる。

(8)の証明

次のように計算できる。

(9)の証明

(1)と(8)より、明らかである。

定義 ( ヘヴィサイドのステップ関数 )

次のように定義する。



このとき、H(x)を 『 ヘヴィサイドのステップ関数 』 という。

定義 ( 符合関数 )

次のように定義する。



このとき、sgn(x)を 『 符合関数 』 という。

P4 ( ヘヴィサイド関数の微分はデルタ関数である )

次が成り立つ。

(1) H’(x)=δ

(2) |x|’=sgn(x)

(3) |x|’’=2δ

(1)の証明

次のように計算できる。

(2)の証明

次のように計算できる。

(3)の証明

(2)より、

参考

φ∈D であっても、F[φ]∈D とは限らない。

後で議論するように、超関数を定義するときには φ∈D ⇒ F[φ]∈D となることが必要である。

つまり、テスト関数はフーリエ変換に関して閉じていなければならない。

しかし、テスト関数はこの条件を満たさない。

そこで、後で議論するように、急減少関数を用いるのである。

P7 ( φ∈S ⇒ F[φ]∈S )

φ∈S とおく。( つまり、φは急減少関数である )

このとき、F[φ]∈S、F−1[φ]∈S である。

証明

いま、明らかに、F[φ]は有界である。(★)

一方、よく知られているように、



よって、非負整数 k、l に対し、



よって、(★)と同様に、(*3)は有界である。

よって、



つまり、上式の左辺は急減少である。

つまり、F[f](ω)∈S である。

定義 ( convolution )

f(x) と g(x) を、区分的に滑らかな関数とする。

f(x) と g(x) は、絶対可積分であるとする。

次のように定義する。



このとき、f*g を 『 f と g の convolution 』 という。

明らかに、f*g=g*f である。

実際、

復習1

F[f](−ω)=F[f](ω) である。

補足

ただし、*は複素共役である。

証明

地道な計算によって示される。

復習2 ( convolution のフーリエ変換は、フーリエ変換の積となる )

f(x) と g(x) を、区分的に滑らかな関数とする。

f(x) と g(x) は、絶対可積分であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F[f*g]=F[f]F[g]

(2) 2πF[f(t)g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]

証明

地道な計算によって示される。

復習3

次が成り立つ。



とくに、φ(ω)=F[g](ω) とおくと、

(1)の証明

復習2より、2πF[f(x)g(x)]=F[f(x)]*F[g(x)] である。

つまり、



ここで、ω=0 とすれば、定理の式が得られる。(※P5)

(2)の証明

いま、φ(ω)=F[g](ω) と仮定している。

よって、g(x)=(2π)−1F[φ(ω)](x) である。

よって、(2)が得られる。

定義 ( 超関数のフーリエ変換 )

φ∈S を急減少関数とする。

f を超関数とする。

次のように定義する。

(1) (F[f]、φ)=(f、F[φ])

(2) (F−1[f]、φ)=(f、F−1[φ])

f として通常の関数を採用してもよい。

ただし、∫f(x)φ(x)dx が収束するものを選ぶ。

例えば、e は採用できないが、x、sinx、cosx などは採用できる。

これらは 『 緩増加関数 』 と呼ばれる。

ただし、ここでは詳しい議論は省略する。

(1)の式は次式によって理解できる。(※形式的積分、復習3)

P8

超関数の意味で F[F−1[f]]=F−1[F[f]]=f である。

証明

φを急減少関数とする。

通常の関数の意味で F−1[F[φ]]=φが成り立つことは既知とする。

いま、(F−1[F[f]]、φ)=(F[f]、F−1[φ])=(f、FF−1[φ])=(f、φ)である。

つまり、超関数の意味で F−1F[f]=f である。