直線座標テンソル場

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参考 ( 概要 )

このページでは次を示す。

(1) スカラー場は(0、0)テンソル場である。

(2) ベクトル場は(1、0)テンソル場である。

(3) スカラー場の微分は(0、1)テンソル場である。

(4) ベクトル場の微分は(1、1)テンソル場である。

(5) スカラー場の、ベクトル場に沿う微分は(0、0)テンソル場である。

(6) ベクトル場の、ベクトル場に沿う微分は(1、0)テンソル場である。

先に式だけを紹介すると、

復習 ( ベクトル空間の基底変換公式、成分変換公式 )

V をベクトル空間とする。

{ e、e } と { e’、e’ } を V の基底とする。

いま、次の形で表せる。



ここで、次のようにおく。



すると、



復習 ( 物理流テンソル )

=ax’ ( x’=b ) を(1次)座標変換とする。

つまり、b=δ である。

ある数の組 S=(S・・・i・・・j)が存在して次を満たすとする。



このとき、S・・・p・・・q を 『 座標系 E における(r、s)テンソルの成分 』 という。

また、S’・・・i・・・j を 『 座標系 E’における(r、s)テンソルの成分 』 という。

定義 ( テンソル場 )

=ax’ ( x’=b ) を座標変換とする。

各点 x に数の組 T=(T・・・i・・・j)が存在して次を満たすとする。



このとき、T(x)を 『(r、s)テンソル場 』 という。

定義 ( スカラー場の方向微分 )

f(x、x)をスカラー場とする。

v=(v、v)を、点 A=(a、a)を始点とするベクトルとする。

次のように定義する。



このとき、∇f(a、a) を 『 f の点 A における v 方向の方向微分 』 という。

上記の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

C=(c(t)、c(t))を曲線とする。

いま、



上式右辺は 「 スカラー場の微分 」 と 「 曲線の微分 」 の内積である。

つまり、(∂f/∂x、∂f/∂x) と C’(t)=dc/dt、dc/dt) の内積である。

また、C’(t)は時刻 t における曲線 C の速度ベクトルである。

ゆえに、時刻 t における速度ベクトルが同じであれば、曲線は任意でよい。

つまり、曲線自体に注目する必要はなく、空間上の1点にベクトル v=(v、v)が与えられていればよい。

定義 ( スカラー場のベクトル場に沿う微分 )

f(x、x)をスカラー場とする。

X(x、x)をベクトル場とする。

次のように定義する。



このとき、∇f を 『 f の X に沿う微分 』 という。

同様に 『 ベクトル場 Y のベクトル場 X に沿う微分 』 を定義できる。

定義(スカラー場の方向微分)は局所的な定義であった。

今回の定義は、それを大域的に書き直したものである。

P*

=ax’ ( x’=b ) を(1次)座標変換とする。

このとき、次が成り立つ。

(1)証明

f(x、x)をスカラー場とする。

f(x’、x’)を、f(x、x)を(x’、x’)で表したものとする。

明らかに、f(x’、x’)=f(x、x)である。(★)

よって、スカラー場は(0、0)テンソル場である。

(★)は当然だが、念のため、具体的に確認する。

f(x、x)=x+x をスカラー場とする。

また、座標変換として次を採用する。



つまり、



いま、f(x’、x’)=f(x(x’、x’)、x(x’、x’))=(2x’−x’)+(−x’+x’)=x’ である。

(x、x)=(1、1)に対応する点は(x’、x’)=(2、3)である。

また、f(x、x)に(x、x)=(1、1)を代入すると、f=2 である。

また、f(x’、x’)に(x’、x’)=(2、3)を代入すると、f=2 である。

(2)証明

復習(ベクトルの成分変換公式)より、



つまり、



つまり、ベクトル場は(1、0)テンソルである。

(3)証明

f(x、x)をスカラー場とする。

いま、次のように表せる。



よって、







つまり、



つまり、スカラー場 f の微分は(0、1)テンソルである。

(4)証明

(2)と(3)より明らかである。

(5)証明

C を曲線とする。

(c(t)、c(t))を、座標(x、x)における C の表示とする。

(c’(t)、c’(t))を、座標(x’、x’)における C の表示とする。

成分変換公式より、



これを t で微分すると、



また、



よって、(3)より、



つまり、



同様に、



つまり、



つまり、これは(0、0)テンソル場である。

(6)証明

(4)と(2)より、



つまり、これは(1、0)テンソル場である。

参考 ( P*から分かること〜その1 )

既に確認したように、ベクトル場 Y のベクトル場 X に沿う微分は(1、0)テンソル場である。(※P*(6))

これは次のように言い表せる。

ベクトル場 Y は(1、0)テンソル場である。

ベクトル場 Y の微分は(1、1)テンソル場である。

ベクトル場 X は(1、0)テンソル場である。

X と Y の縮合は(1、0)テンソル場である。

実際、X と Y の積は(2、1)であり、その縮約は(1、0)である。

参考 ( P*から分かること〜その2 )

既に示したように、



つまり、スカラー場 f のベクトル場 X に沿う微分は(0、0)テンソル場である。

一方、

(*2)の証明

P*(3)と(4)より、

参考 ( P*から分かること〜その3 )

既に示したように、スカラー場の微分は(0、1)テンソルである。

さらに、スカラー場の2階微分は(0、2)テンソルである。

証明

P*(2)より、



ここで、次のようにおく。



( これらは定数であることに注意 )

すると、



つまり、



つまり、これは(0、2)テンソル場である。