法曲率 と umblic point

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定義 ( 第1基本行列、第1基本量 )

φ:D→ を曲面とする。

E=φ・φ、F=φ・φ、G=φ・φ とおく。

次のように定める。



このとき、T を 『 第1基本行列 』 という。

また、E、F、G を 『 第1基本量 』 という。

定義 ( 曲面の向き )

φ(u、v) を曲面とする。

n(u、v)=φ×φ/|φ×φ|と定義する。

このとき、n を 『 φの向き 』 という。

むろん、n はφの単位法ベクトル場である。

定義 ( 第2基本行列 )

次のように定める。



ただし、

(*1) L=−φ・n=φuu・n

(*2) M=−φ・n=−φ・n=φuv・n

(*3) N=−φ・n=φvv・n

このとき、U を 『 第2基本行列 』 という。

証明

いま、φ と φ は n と直交する。

つまり、φ・n=0、φ・n=0 である。

よって、両辺を偏微分すると、(*1)〜(*3)を得る。

P1 ( 第1基本行列は正則行列である )

第1基本行列の行列式は正である。

証明

v、w∈ とおくと、



つまり、(v、v)(w、w)−(v、w)=|v×w| である。( これを 『 ラグランジュの恒等式 』 という )

よって、detT=EG−F=|φ×φ>0 である。

定義 ( ワインガルテン行列 )

W=(T−1U と定義する。(※P1)

このとき、W を 『 ワインガルテン行列 』 という。

P2 ( ガウス曲率の計算式 )

λ と λ を主曲率とする。

このとき、

補足

つまり、ガウス曲率は 「 第1基本量と第2基本量 」 で表される。

ちなみに、ガウス曲率を 「 第1基本量の2階微分まで 」 のみで表すこともできる。

数学者ガウスは、これを 『 驚異の定理 』 と名付けた。

(1)の証明

一般に、正方行列 A に対して|A−1|=|A|−1 である。

一方、



よって、定理の式が成り立つ。

(2)の証明

いま、



よって、定理の式が成り立つ。

(3)の証明

ワインガルテン行列は対称行列 T−1、U の積である。

よく知られているように、2次対称行列は、行列式1の行列で対角化できる。

むろん、対角化された行列の対角成分は、λ と λ である。

よって、detA=λλ である。

(4)の証明

(3)と同様である。

定義 ( 主曲率、ガウス曲率、平均曲率 )

ワインガルテン行列 W の固有値 λ と λ を 『 φの主曲率 』 という。

K=detW と定義する。

H=(1/2)trW と定義する。

このとき、K を 『 ガウス曲率 』 という。

また、H を 『 平均曲率 』 という。

定義 ( 法曲率ベクトル、測地的曲率ベクトル )

φ:D→ を曲面とする。

Γ:I→ を曲面φ上の曲線とする。

つまり、Γ(I)⊂φ(D) である。

s を弧長パラメータとする。

いま、任意の s に対して Γ’’(s) を次のように分解できる。

(*) Γ’’(s)=κ(s)+κ(s)

ただし、κ(s) は曲面に接するベクトルである。

また、κ は法線方向のベクトルである。

このとき、κ(s) を 『 Γの測地的曲率ベクトル 』 という。

また、κ(s) を 『 Γの法曲率ベクトル 』 という。

定義 ( 法曲率 )

φ:D→ を曲面とする。

Γ(s) を曲面φ上の曲線とする。

k(s)=Γ’’(s)・n とおく。

このとき、k を 『 Γの法曲率 』 という。

κ(s) をΓの法曲率ベクトルとする。

明らかに、κ(s)=(Γ’’(s)・n)n と表せる。

そこで、k(s)=Γ’’(s)・n と定義したのである。

むろん、κ(s)=k(s)n と表せる。

定義 ( 主方向 )

曲面の点における主曲率を実現する接ベクトルを 『 主方向 』 という。

定義 ( umblic point )

主曲率 λ と λ が一致する点を 『 umblic point 』 という。

定義 ( 直截口 )

曲面の法線を含む平面による切り口は平面曲線である。

この曲線を 『 直截口 』 という。

直截口は 「 ちょくせつこう 」 と読まれる。

P15 ( 法曲率は、曲線の接ベクトルの方向によってのみ決まる )

φ:D→ を曲面とする。

Γ:I→ を曲面φ上の曲線とする。

つまり、Γ(I)⊂φ(D) である。

s を弧長パラメータとする。

いま、uv平面上の曲線 (u(s)、v(s)) が存在して、Γ(s)=φ(u(s)、v(s)) と表せる。

このとき、次が成り立つ。

(1) Γ’・Γ’=E(u’)+2Fu’v’+G(v’)=1

(2) k=L(u’)+2Mu’v’+N(v’)

補足

Γ(s)の接ベクトルは u’ と v’ によって決まる。

実際、Γ’(s)=φ(u(s)、v(s))u’(s)+φ(u(s)、v(s))v’(s) である。

よって、(2)は k が曲線の接ベクトルから定まることを意味する。

しかも、曲線は弧長パラメータで表示されている。

よって、法曲率 k は曲線の接ベクトルの方向によってのみ決まる。

(1)の証明

いま、Γ’(s)=φ(u(s)、v(s))u’(s)+φ(u(s)、v(s))v’(s) である。

よって、Γ’・Γ’=E(u’)+2Fu’v’+G(v’) である。

むろん、Γ’・Γ’=1 である。

(2)の証明

いま、Γ’・n=0 である。

よって、

P16

Γ(s) を曲面上の曲線とする。

ただし、s は弧長パラメータとする。

n を曲面の向きとする。

このとき、次は同値である。

(1) Γ(s)の点 P (=Γ(s) ) における法曲率

(2) 点 P において Γ’(s) と同じ接ベクトルをもつ直截口の平面曲線としての曲率

ただし、直截口を含む平面の x 軸は Γ’(s) 方向であり、y 軸は n 方向であるとする。

証明

α(s) を直截口による平面曲線とする。

Γの点 P における法曲率 k は、曲線の接ベクトル方向のみに依存する。(※C15)

よって、k(s)=Γ’’(s)・n=α’’(s)・n である。(★)

いま、α’’(s) は α’(s)=Γ’(s) に直交する。

よって、α’’(s) は n の定数倍である。

よって、(★)より、α’’(s)=k(s)n である。

これは、α(s)の s における平面曲線としての曲率が k であることを意味する。

P17 ( 法曲率の計算式 )

φ:D→ を曲面とする。

Γ(s) を曲面上の曲率とする。

いま、uv平面上の曲線 (u(s)、v(s)) が存在して、Γ(s)=φ(u(s)、v(s)) と表せる。

θ を (u’(0)、v’(0)) が u 軸に対して成す角度とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

tanθ=b/a とおくと、定理の式は次のように表される。

証明

いま、ある r>0 が存在して、(u’(0)、v’(0))=r(cosθ、sinθ) となる。

また、s は弧長パラメータである。

よって、C15(1)より、



よって、C15(2)より、

P18

曲面上の点における法曲率の最大値・最小値は、その点における主曲率に一致する。

証明

k は θ を変数とする連続な周期関数と見なせる。(※C17)

よって、k は最大値 λ と最小値 λ をもつ。

また、これらは、次の関数λの −{(0、0)} の最大値・最小値に一致する。(※C17の補足)



最大値・最小値をとる点(x、y)では ∂λ/∂x=0、∂λ/∂y=0 である。

一方、Lx+2Mxy+Ny−(Ex+2Fxy+Gy)λ=0 と表せる。

上式の両辺を x や y に関して偏微分すると、最大値・最小値をとる点(a、b)において次が成り立つ。

(*1) (L−λE)a+(M−λF)b=0

(*2) (M−λE)a+(N−λG)b=0

上記の連立1次方程式が(0、0)以外の解をもつための条件は、



上式を展開すると、

(*3) (EG−F)λ−(EN+GL−2FM)λ+(LN−M)=0

つまり、法曲率 k の最大値・最小値は、(*3)の解である。

一方、(*1)と(*2)を式変形すると、T−1U(a、b)=λ(a、b) である。

つまり、λ と λ は主曲率 ( W の固有値 ) である。

補足

ちなみに、(*3)について解と係数の関係より、



これは P2 の結果と一致する。

P19 ( ワインガルテン行列とガウス曲率の関係 )

φ(u、v) を曲面とする。

このとき、次は同値である。

(1) 曲面の接ベクトル xφ+yφ は主方向である。

(2) (x、y) は W の固有ベクトルである。

また、次は同値である。

(3) 点 P は umblic point である。

(4) 点 P において H−K=0

(5) 点 P において W は単位行列のスカラー倍になる。

補足

(3)⇔(5)の証明ではワインガルテン行列の合同変換不変性・座標変換公式を用いる。

これを知らない人は読まなくてもよい。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、xφ+yφ は主方向である。

これは、ある主曲率λに対し、次が成り立つことを意味する。(※C18の証明)

(*1) (L−λE)x+(M−λF)y=0

(*2) (M−λE)x+(N−λG)y=0

そして、(*1)と(*2) の解 λ と λ は、W の固有値である。(※C18の証明)

以上により、(1)⇔(2)が示された。

補足

上の証明では C18 を引用した。

これについて補足しておく。

もともと、C17 では uv 平面上の点を任意に通る曲線を考えた。

そして、その速度ベクトルが u 軸に対して成す角度をθとした。

そして、このθを変化させて、法曲率の最大値・最小値を求めた。

さらに、C17の補足では tanθ=y/x とおいた。

これは今回(C19)の xφ+yφ を意味している。

そして、C18 では(*1)と(*2)の解 λ と λ が W の固有値であることを示した。

(3)⇔(4)の証明

λ と λ を主曲率とする。

いま、λ+λ=2H、λλ=K である。

よって、4(H−K)=(λ−λ である。

よって、(3)⇔(4)である。

(3)⇔(5)の証明

点 P を曲面上の点とする。

既に示したように、ガウス曲率は合同変換に対して不変である。

よって、曲面を回転・平衡移動して、点Pは原点であるとして一般性を失わない。

また、接平面は(x、y)平面であるとしてよい。

曲面を φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、z(u、v)) と表す。

ψ(u、v) を、(u、v)平面から(x、y)平面への写像とする。

P=(0、0、0)=φ(u、v) とおく。

いま、次のベクトルは1次独立である。

(*1) φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、0)=(ψ、0)

(*2) φ(u、v)=(x(u、v)、y(u、v)、0)=(ψ、0)

つまり、ψのヤコビ行列は、(u、v)で 0 ではない。

よって、(x、y)平面の原点近傍で定義された逆写像 ψ−1 が存在する。(※逆関数定理)

よって、φ*ψ−1 を考えれば、φをグラフ曲面と見なすことができる。

そこで、φ(x、y)=(x、y、f(x、y)) とおいてよい。

いま、f(0、0)=f(0、0)=f(0、0)=0 である。

よって、E=G=1、F=0 である。(※P12)

よって、W=(T−1U=U である。

つまり、W は対称行列である。

よく知られているように、対称行列は直交行列によって対角化可能である。

つまり、W は直交行列によって対角化可能である。

いま、次は同値である。

(1) 2つの主曲率(つまり固有値)が一致して、λ=λ=λ と表せる。

(2) ある直交行列 T が存在して、TWT=λI と表せる。

TT=I であるから、(*2)は次のように書き換えられる。

(*3) ある直交行列 T が存在して、W=λI と表せる。

一方、次が成り立つ。(※ワインガルテン行列の座標変換公式)



よって、W=λI である。(※代入して整理するだけ)

よって、(3)⇔(5)が示された。