宇宙船がいくら加速しても光速を超えることはない

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参考 ( 概要 )

相対論から導かれる有名な主張として次がある。

(1) 宇宙船がいくら加速しても光速を超えることはない。

(2) タキオン(光速を超えて運動する粒子)は存在しない。

このページでは(1)を示す。

主張(1)を数学的に表現すると、「 加速する粒子は x=τ(事象の地平線)に漸近する 」 となる。

詳しくは後述する。

(1)と同様の現象はブラックホールにも見られる。

ブラックホールの周囲には 『 シュヴァルツシルト面 』 が形成されている。

シュヴァルツシルト面の外部から内部に光を送り込むことはできる。

しかし、シュヴァルツシルト面の内部から外部に光が出ることはできない。

これは物理的に(1)と同じである。

復習 ( ニュートン力と相対論的力 )

を4元加速度とする。( ただし、ここでは a と a のみを考える )

つまり、



むろん、



を4元力とする。

つまり、



よく知られているように、ニュートン力 f との関係は次のように表される。



以上により、





(*1)を式変形して(*2)を得ることもできる。

P* ( 宇宙船がいくら加速しても光速を超えることはない )

一定値 a で加速を続ける宇宙船があるとする。

このとき、宇宙船が描くミンコフスキ時空上の軌跡は x=τ に漸近する。

補足

図示すると、

証明

宇宙船に固定した座標系を考える。

むろん、このような座標系は慣性系ではない。

ただし、各時刻では宇宙船と同じ速度で運動する慣性系と見なせる。

むろん、この慣性系において宇宙船の速度は 0 である。

よって、ニュートン力学を適用できる。

宇宙船の推進力を f とし、質量を m とすると、f=ma である。

よって、次を得る。(※復習(ニュートン力と相対論的力)の(*2))



つまり、



つまり、速度 v は光速 c を超えない。

時間 t が増加すると、速度 v は(下から) c に漸近する。

積分すると、



つまり、位置 x は(上から) ct に漸近する。