ワインガルテン行列によってガウス曲率を直観的に理解できる

サイトのTOP→理系インデックス





注意

このページでは ∂φ/∂u を ∂φと表し、∂φ/∂v を ∂φと表す。

定義 ( 第1基本行列、第1基本形式 )

φ:D→ を曲面とする。

次のように定める。



ただし、

(*1) E=∂φ・∂φ

(*2) F=∂φ・∂φ

(*3) G=∂φ・∂φ

このとき、T を 『 第1基本行列 』 という。

また、E、F、G を 『 第1基本量 』 という。

注意 ( 曲面の向き )

φ(u、v) を曲面とする。

n(u、v)=∂φ×∂φ/|∂φ×∂φ|と定義する。

このとき、n を 『 φの向き 』 という。

むろん、n はφの単位法ベクトル場である。

定義 ( 第2基本行列、第2基本形式 )

次のように定める。



ただし、

(*1) L=−∂φ・∂n=∂φ・n

(*1) M=−∂φ・∂n=−∂φ・∂n=∂φ・n

(*1) N=−∂φ・∂n=∂φ・n

このとき、U を 『 第2基本行列 』 という。

また、U を 『 φの第2基本形式 』 という。

定義 ( ワインガルテン行列 )

W=(T−1U と定義する。(※注意:第1基本行列は正則である)

このとき、W を 『 ワインガルテン行列 』 という。

定義 ( 主曲率、ガウス曲率、平均曲率 )

ワインガルテン行列 W の固有値 λ と λ を 『 φの主曲率 』 という。

K=detW と定義する。

H=(1/2)trW と定義する。

このとき、K を 『 ガウス曲率 』 という。

また、H を 『 平均曲率 』 という。

P1 ( 第1基本量と第2基本量の関係 )

φ:D→ を曲面とする。

T=(gij) を第1基本行列とする。

T−1=(gij) をTの逆行列とする。

U=(hij) を第2基本行列とする。

n:D→ をφの向きとする。

つまり、n=∂φ×∂φ/|∂φ×∂φ|である。

このとき、次が成り立つ。

補足

現時点では、この式の形は分かりづらいかもしれない。

しかし、後に登場する 『 ワインガルテンの公式 』 を見れば、その意味は明確となる。

証明

いま、(n、n)=1 である。

よって、(∂n、n)=0 である。

よって、∂n=aφ+aφ と表せる。(★)

よって、定義(第2基本量)より、



一方、(∂φ、n)=0 であるから、



よって、



両辺に gkj を掛けて、j について和をとると、



よって、(★)より、

P2 ( ワインガルテンの公式〜その1 )

φ:D→ を曲面とする。

n:D→ をφの向きとする。

W=(aij) をワインガルテン行列とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

つまり、∂n は u 曲線と v 曲線の1次結合である。

さらに、その成分はワインガルテン行列の第 j 列の負である。

証明

明らかである。(※P1)

参考 ( ワインガルテンの公式〜その2 )

φ:D→ を曲面とする。

n:D→ をφの向きとする。

W=(aij) をワインガルテン行列とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) (∂n、∂n)=−(∂φ、∂φ)W

また、次は同値である。

(1) ∂n と ∂n は1次従属である。

(2) ガウス曲率は 0 である。

補足

ただし、上記の (∂n、∂n) や (∂φ、∂φ) は行列であって、内積ではない。

(*)の証明

B=(∂φ、∂φ) を2×2行列とする。

いま、T=BB と表せる。

また、U=−B(∂n、∂n) と表せる。

よって、W=T−1U=−(BB)−1B(∂n、∂n)=−B−1(∂n、∂n)である。

よって、−(∂φ、∂φ)W=−BW=(∂n、∂n) である。

(1)⇔(2)の証明

いま、∂φ と ∂φ は1次独立である。(※定義:正則曲面)

よって、det(∂φ、∂φ)≠0 である。

よって、明らかである。

P3

φ:D→ を曲面とする。

n:D→ をφの向きとする。

K をガウス曲率とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) ∂n(x)×∂n(x)=K(x)∂φ(x)×∂φ(x)

補足

つまり、∂n(x)×∂n(x) と ∂φ(x)×∂φ(x) は平行である。

証明

W=(aij) をワインガルテン行列とする。

いま、∂n=−a1kφ−a2kφ である。(※P2)

よって、∂n×∂n=(a1122−a2112)(∂φ×∂φ)=K(∂φ×∂φ) である。

参考 ( ガウス曲率の直観的理解 )

φ:D→ を曲面とする。

E⊂D を閉領域とする。

よく知られているように、φ(E)の曲面積は、



また、n(E)の曲面積は、



いま、n は単位ベクトルである。

よって、n(D) は単位球面の部分集合である。

また、∬|K|dudv は (★1) と (★2) の比である。(※P3)

以上のことはガウス曲率の意味をよく表している。

(x、ε)⊂D を、x を中心とする半径εの閉円板とすると、

これにより、単純な曲面に関するガウス曲率を予想できる。

以下、これを確認してみよう。

参考 ( ガウス曲率の予想 )

(1) 平面のガウス曲率は K=0 と予想できる。

(2) 円柱面のガウス曲率は K=0 と予想できる。

(3) 半径 r の球面のガウス曲率は K=r−2 と予想できる。

(1)の証明

いま、n は平面上で一方向である。

つまり、n(D)は一点である。

よって、n(D)の曲面積は 0 である。

よって、K=0 である。

(2)の証明

いま、n は円柱面上で円である。

つまり、n(D)は円である。

よって、n(D)の曲面積は 0 である。

よって、K=0 である。

(3)の証明

いま、n は球面上で全方向を向く。

つまり、n(D)=4π・1=4πである。

一方、φ(D)=4πr である。

よって、K=r−2 である。