離散的フェイエルの定理、ワイエルシュトラスの多項式近似〜幾何的証明ver

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定義 ( 基本系 )

V をノルム空間とする。

、v、・・・∈V とおく。

span(v、v、・・・)は V において稠密であるとする。

このとき、span(v、v、・・・)を 『 V の基本系 』 という。

定義 ( C

閉区間 [a、b] 上の連続関数全体を C[a、b] と表す。

明らかに、C[a、b] はベクトル空間である。

定義 ( 台 )

f を 区間 I 上で定義された関数とする。

次のように定義する。



このとき、suppf を 『 f の台 』 という。

定義 ( Cper、Cbdy、Csupp

次のように定義する。

(*1) Cper[a、b]={ f∈C[a、b]|f(a)=f(b) }

(*2) Cbdy[a、b]={ f∈C[a、b]|f(a)=0、f(b)=0 }

(*3) Csupp[a、b]={ f∈C[a、b]|suppf⊂(a、b) }

とくに、f∈Cper[a、b] を 『 [a、b]上の周期関数 』 という。

明らかに、(*1)〜(*3)は、C[a、b] の部分空間である。

定義 ( Cper[a、b]、Cbdy[a、b] )

次のように定義する。

(*1) Cper[a、b]={ f∈C[a、b]|f(k)(a)=f(k)(b)、0≦k≦n }

(*2) Cbdy[a、b]={ f∈C[a、b]|f(k)(a)=0、f(k)(b)=0、0≦k≦n }

明らかに、(*1)と(*2)は、C[a、b] の部分空間である。

定義 ( P、T、CT、ST

次のように定義する。

(*1) P=span{ 1、x、・・・、x

(*2) T=span{ 1、cosx、sinx、・・・、cosnx、sinnx }

(*3) CT=span{ 1、cosx、・・・、cosnx }

(*4) ST=span{ sinx、・・・、sinnx }

とくに、区間を明示したい場合は、P[a、b]などのように表す。

明らかに、(*1)〜(*4)は、C[a、b] の部分空間である。

定義 ( P、T、CT、ST )

次のように定義する。

(*1) P=∪1≦n≦∞

(*2) T=∪1≦n≦∞

(*3) CT=∪1≦n≦∞CT

(*4) ST=∪1≦n≦∞ST

明らかに、(*1)〜(*4)は、C[a、b] の部分空間である。

参考

明らかに、C[a、b]、、Csupp[a、b]、P、T、・・・などは無限次元である。

一方、P、T、CT、ST は有限次元である。

実際、dimP=n+1、dimT=2n+1、CT=n+1、dimST=n である。

定義 ( Lノルム )

1≦p≦∞ とする。

f∈C[a、b] に対し、次のように定義する。



このとき、|| ・ || を 『 Lノルム 』 という。

とくに、|| ・ || を 『 一様ノルム 』 という。

とくに、区間を明示したい場合は、|| ・ || を || ・ ||(a、b) と表す。

明らかに、L ノルムはベクトル空間 C[a、b] のノルムである。

ノルム空間の部分空間はノルム空間である。

よって、Csupp[a、b]、P、T、・・・などはすべて || ・ || に関するノルム空間である。

参考

(a、b)=C(a、b)∩Csupp[a、b] とおく。

1≦p<∞ に対し、C(a、b) の || ・ || に関する閉包を L(a、b)と表す。

とくに、ルベーグ積分で考えた場合、L(a、b) は 『 p 乗可積分な可測関数全体 』 と一致する。

p 乗可積分な可測関数全体とは、ルベーグ積分で ∫|f|μ<∞ を満たす関数である。

定義 ( L収束、一様収束 )

(fn∈ を [a、b] 上で定義された関数列とする。

f:[a、b]→ を関数とする。

limn→∞|| f−f ||=0 であるとする。

このとき、「 (fn∈ は f に L 収束する 」 という。

とくに、L 収束を 『 一様収束 』 という。

この一様収束は微分積分などでよく知られている定義と一致する。

つまり、次を意味する。

定義 ( 各点収束 )

、f:[a、b]→ を関数とする。

任意の点 x∈[a、b] に対し、limn→∞(x)=f(x)であるとする。

このとき、「 (fn∈ は f に各点収束する 」 という。

Z1 ( シュワルツの不等式 )

V を K 上の内積空間とする。

|| v ||=(v、v)1/2 と定義する。

このとき、次が成り立つ。

(*) |(v、w)|≦|| v ||・|| w || ( v、w∈V )

この(*)を 『 シュワルツの不等式 』 という。

証明

非常に有名な定理なので証明は省略する。

Z2 ( ヘルダーの不等式 )

1≦p≦∞ とする。

1≦q≦∞ とする。

1/p+1/q=1とする。

このとき、f、g∈C[a、b]に対して次が成り立つ。

補足

ただし、p=∞ の場合は 1/p=0 と規約する。

補足

とくに、p=q=2 の場合を 『 シュワルツの不等式 』 という。

これは Z1 と整合する。

実際、f、g∈C[a、b]に対して次のように内積を定義してみよう。



いま、|| f ||=(f、f)1/2 となる。

Z1より、



つまり、

証明

これは関数解析などでよく知られている定理である。

ここでは証明を省略する。

定義 ( ノルムの同値性 )

||・||(1)、||・||(2) を、V のノルムとする。

ある定数 c、c>0 が存在して、任意の v∈V に対して c||v||(1)≦||v||(2)≦c||v||(1) となるとする。

このとき、「 ||・||(1) と ||・||(2) は同値である 」 という。

||・||(1) と ||・||(2) が同値であるという関係を ||・||(1)〜||・||(2) と表す。

明らかに、||・||(1)〜||・||(2) ⇒ ||・||(2)〜||・||(1) である。

Z3

||・||(1)、||・||(2) を V のノルムとする。

||・||(1) と ||・||(2) は同値であるとする。

を ||・||(1) によって定まる位相とする。

を ||・||(2) によって定まる位相とする。

このとき、 である。

証明

いま、a||・||(2)≦||・||(1)≦b||・||(2) である。

O∈ とおく。

いま、S (x、r/a)={ y : || y−x ||(2)<r/a }⊂{ y : || y−x ||(1)<r }=S (x、r)である。

また、O⊂∪x∈O(x、r(x)/a)⊂∪x∈O(x、r(x))=O である。

よって、O=∪x∈O(x、r(x)/a)である。

よって、O∈ である。

以上により、 である。

同様に、 である。

Z4

f∈C[a、b] とおく。

1≦p<q≦∞ とする。

このとき、|| f ||≦(b−a)1/p−1/q|| f || である。

補足

ただし、逆向きの不等式 || f ||≦M|| f || は一般には成り立たない。

つまり、Lノルムは同値なノルムではない。

つまり、C[a、b]には無数の方法で位相が入る。(※Z3)

一方、有限次元ベクトル空間のノルムはすべて同値である。

これについては後で示す。

証明

q=∞ の場合は明らかである。(※規約1/∞=0 に注意)

1≦p<q<∞ の場合について考える。

r=q/p>1とおく。

1/r+1/s=1とする。

いま、次が成り立つ。(※ヘルダーの不等式)

Z5

有限次元ベクトル空間における任意の2つのノルムは同値である。

証明

{ e、・・・、e } を V の基底とする。

x∈V とおく。

いま、x=x+・・・+x と表せる。

次のように定義する。

(*1) || ・ ||=max{ x、・・・、x

(*2) || ・ ||=(1≦i≦n|x1/2

明らかに、|| ・ || と || ・ || はノルムである。

シュワルツの不等式より、



つまり、ある c>0 が存在して、|| x ||≦c|| x || である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

S={ y∈V : || y ||=1 } とおく。

(★1)より、|| y ||≦c である。

よって、|| ・ || は S 上の連続関数である。

よって、|| ・ || は最小値 c をもつ。

いま、y∈S ⇒ || y ||≠0 である。

よって、c>0 である。

x∈V ( x≠0 ) とおく。

y=x/|| x || とおく。

いま、y∈S である。

よって、c≦|| y || である。

よって、c|| x ||≦|| x || である。(★2)

(★1)、(★2)より、定理が示された。

Z6

[a、b] は || ・ || に関してバナッハ空間である。

補足

つまり、C[a、b] は || ・ || に関して完備である。

ちなみに、他の || ・ || に関しては完備ではない。

なぜなら、極限が不連続になる場合があるからである。

つまり、極限が C[a、b] に属さなくなってしまう場合がある。

証明

(fn∈⊂C[a、b] を || ・ || に関するコーシー列とする。

つまり、limm、n→∞|| f−f ||=0 とする。

t∈[a、b] とおく。

いま、(f(t))n∈ を実数列と見なせる。

また、|f(t)−f(t)|≦|| f−f || である。

よって、(f(t))n∈ はコーシー列である。

よって、limn→∞(t)は存在する。(※実数の連続性)

そこで、f:[a、b]→ を f(t)=limn→∞(t) で定義する。

いま、limn→∞|| f−f ||=limn→∞limm→∞|| f−f ||=limm、n→∞|| f−f ||=0 である。

つまり、(fn∈ は || ・ || に関して f に収束する。

また、よく知られているように、連続関数列の一様収束の極限は連続関数である。(※微分積分)

よって、f∈C[a、b] である。

以上により、C[a、b]は || ・ || に関して完備である。

Z7

supp[a、b] は Cbdy[a、b]において稠密である。

補足

つまり、Csupp[a、b] は Cbdy[a、b] の基本系である。

証明

f∈Cbdy[a、b] とおく。

ε>0 とおく。

いま、f(a)=0、f(b)=0 であり、f は連続である。

よって、あるδ>0 が存在して、次を満たす。

(*1) |f(x)|≦ε/2 ( a≦x≦a、b≦x≦b )

(*2) a=a+δ

(*3) b=b−δ

ここで、a=a+δ/2、b=b−δ/2 とおく。

次のように定義する。



いま、g∈Csupp[a、b] である。

また、|| f−g ||≦εである。

定義 (2項係数 )

次のように定義する。



これを 『 2項係数 』 という。

高校数学では nCk と表されることも多い。

参考 ( 2項定理 )

よく知られているように、次が成り立つ。



これを 『 2項定理 』 という。

定義 ( ベルンシュタイン多項式 )

f∈C[0、1]とおく。

n∈ とおく。

次のように定義する。



このとき、B(f) を 『 ベルンシュタイン多項式 』 という。

Z8 ( ベルンシュタイン多項式は順序を保存する )

次が成り立つ。

(1) B は線形写像である。

(2) f≧0 ⇒ Bf≧0

(3) g≦f ⇒ Bg≦B

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

(2)より明らかである。

Z9

(x)=1、f(x)=x、f(x)=x とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) B(x)=1

(2) B(x)=x

(3) B(x)=n−1(n−1)x+n−1

(1)の証明

明らかである。(※2項定理)

(2)の証明

2項定理の両辺を X で微分すると、



両辺に X/n を掛けると、



X=x、Y=1−x を代入すると、

(3)の証明

2項定理の両辺を x で2回微分すると、



両辺に X/n を掛けると、



X=x、Y=1−x を代入し、(2)の結果を用いると、

Z10 ( Bf は f に一様収束する )

任意の f∈C[0、1]に対し、limn→∞|| f−Bf ||=0 である。

証明

f∈C[0、1]とおく。

ε>0 とおく。

よく知られているように、有界閉区間上の連続関数は一様連続である。(※微分積分)

つまり、あるδ>0 が存在して、次が成り立つ。

(*1) 任意の x、x∈[0、1]に対し、|x−x|≦δ⇒|f(x)−f(x)|≦ε

z∈[0、1]とおく。

p(x)=f(z)+ε+2δ−2|| f ||(x−z) と定義する。

q(x)=f(z)−ε−2δ−2|| f ||(x−z) と定義する。

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まず、|x−z|≦δの場合について考える。

いま、(*1)より、|f(z)−f(x)|≦εである。

よって、p(x)−f(x)≧f(z)+ε+2δ−2|| f ||(x−z)−(f(z)+ε)≧0

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、|x−z|≧δの場合について考える。

いま、|f(x)|、|f(z)|≦|| f || である。

よって、次が成り立つ。

(*2) p(x)−f(x)≧f(z)+ε+2δ−2|| f ||δ−2−f(x)≧−|f(z)|+ε+2|| f ||−|f(x)|≧ε>0

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、f≦p である。

同様に、q≦f である。

よって、Bq≦Bf≦Bp である。(※Z8)(★1)

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φ(x)=x ( i=0、1、2、・・・ ) と定義する。

p(x)=cφ(x)+cφ(x)+cφ(x)と定義する。

q(x)=cφ(x)+cφ(x)+cφ(x)と定義する。

いま、ある定数 M>0 が存在して|c|≦M である。

いま、φ−Bφ=0、φ−Bφ=0、φ−Bφ=(x−x)/n である。(※Z9)

よって、|| p−Bp ||≦|c|・|| φ−Bφ ||≦(4n)−1M である。

同様に、|| q−Bq ||≦(4n)−1M である。

ここで、N=(4ε)−1M である。

いま、n≧N ⇒ || p−Bp ||≦ε、|| q−Bq ||≦εである。

ここで、n≧N とおく。

いま、|p(z)−Bp(z)|≦εである。

よって、(★1)より、Bf(z)≦Bp(z)≦p(z)+ε=f(z)+2εである。

同様に、Bf(z)≧f(z)−2εである。

以上により、n≧N ⇒|f(z)−Bf(z)|≦2εである。

いま、z は任意である。

つまり、n≧N ⇒ || f−Bf ||≦2εである。

Z11 ( ワイエルシュトラスの多項式近似 )

P は C[a、b] において稠密である。

証明

f∈C[a、b]とおく。

φ(x)=(b−a)−1(x−a)とおく。

ψ(y)=(b−a)y+a とおく。

(y)=f(ψ(y))とおく。

(x)=B(φ(x))とおく。

いま、f∈C[a、b]、p∈P[a、b]、f∈C[0、1]、B∈P[0、1] である。

また、|| f−p ||=|| f−B ||→0 (n→∞) である。(※Z10)

定義 ( 3角級数、3角多項式 )

(cn∈ を複素数列とする。

ここで、次のような式を考える。

(*) −∞≦n≦∞ikωx

これを 『 3角級数 』 という。

また、3角級数の和が有限和であるとき、これを 『 3角多項式 』 という。

Z12

(1) cosx は { 1、cosx、・・・、coskx } の1次結合で表される。

(2) sinx は { 1、sinx、・・・、sinkx } の1次結合で表される。

(1)の証明

ix=cosx+isinx である。

cosx=(2−1(eix+e−ix)) である。

これを展開すればよい。

(2)の証明

(1)と同様である。

Z13 ( 「離散的フェイエルの定理」の系 )

(1) CT は C[0、π] において稠密である。

(2) ST は Cbdy[0、π] において稠密である。

(3) T は Cper[−π、π] において稠密である。

補足

次の手順でワイエルシュトラスの多項式近似を証明することもできる。

(*1) T は Cper[−π、π] において稠密である。

(*2) CT は C[0、π] において稠密である。

(*3) ワイエルシュトラスの多項式近似

つまり、ここまで述べた議論と逆の順番で議論できる。

これについては他章で扱っている。

(1)の証明

f∈C[0、π]とおく。

ε>0 とおく。

g:[−1、1]→ を g(x)=f(cos−1t)で定義する。

つまり、g(cosx)=f(x)である。

また、g∈C[−1、1]である。

よって、ある c、・・・、c が存在して、次が成り立つ。(※ワイエルシュトラスの多項式近似)

(*1) |g(t)−0≦k≦n|≦ε ( −1≦t≦1 )

一方、cosx は { 1、cosx、・・・、coskx } の1次結合で表される。(※Z12)

よって、(*1)より、ある c’、・・・、c’ が存在して、

(*2) |f(x)−0≦k≦nc’coskx|≦ε ( 0≦x≦π )

(2)の証明

f∈Cbdy[0、π]とおく。

ε>0 とおく。

いま、ある g∈Csupp[0、π] が存在して、|| f−g ||<ε/2 となる。(※Z7)

h:[0、π]→ を h(x)=g(x)/sinx で定義する。

いま、明らかに、h∈C[0、π] である。

よって、(1)より、ある c、・・・、c が存在して、次を満たす。

(*1) |h(x)−0≦k≦ncoskx|≦ε/2 ( 0≦x≦π )

つまり、

(*2) |g(x)−0≦k≦nsinxcoskx|≦(ε/2)|sinx|≦ε/2 ( 0≦x≦π )

よく知られているように、2sinxcoskx=sin(k+1)x−sin(k−1)x である。

よって、ST[0、π] は Cbdy[0、π] で稠密である。

(3)の証明

f∈Cper[−π、π]とおく。

(x)=2−1(f(x)+f(−x))とおく。

(x)=2−1(f(x)−f(−x))とおく。

いま、f(x)∈C[0、π] と見なせる。

ε>0 とおく。

よって、(1)より、ある c、・・・、c が存在して、次を満たす。

(*1) |f(x)−0≦k≦ncosx|≦ε/2

上式は [ 0、π ]上で成り立つ。

ただし、f(x)と cosx は偶関数である。

よって、(*1)は [−π、π] 上で成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、f(0)=0、f(π)=0 である。

よって、(2)より、ある c’、・・・、c’ が存在して、次を満たす。

(*2) |f(x)−0≦k≦mc’sinx|≦ε/2

いま、f(x)と sinkx は奇関数である。

また、sinx は { 1、sinx、・・・、sinkx } の1次結合で表される。(※Z12)

よって、(*2)も [ −π、π ] 上で成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、f=f+f である。

よって、(*1)、(*2)より、

(*3) |f(x)−0≦k≦ncosx−0≦k≦mc’sinx|≦ε

参考 ( 離散的フェイエルの定理 )

f∈Cper[0、1] とおく。

次のように定義する。



( このσ[f](t)を 『 フェイエル級数 』 という )

このとき、任意の ε>0 に対し、ある自然数 N が存在して、次が成り立つ。

(*) n≧N ⇒ supt∈[0、1]|σ[f](t)−f(t)|<ε

これの証明は他章で扱っている。

定義により、σ[f](t) は3角多項式であって、f に一様収束している。

つまり、Z13(3)は、この定理の言い換えである。

そこで、このサイトでは Z13(3) を 『 離散的フェイエルの定理の系 』 と呼ぶ。

これらの定理は他章で活躍する。