ヤング率とポアソン比

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要請 ( フックの法則 )

応力テンソル σij と歪テンソル epq の間に次の線形関係が成り立つとする。

ijpq は4階テンソルである。

むろん、Cijpq=Cjipq である。(※応力テンソルの対称性σij=σji

また、Cijpq=Cijqp である。(※歪テンソルの対称性epq=eqp

注意 ( Voigt表記(フォークト表記))

既に確認したように、応力テンソルと歪テンソルは対称性をもつ。

つまり、σij=σji であり、epq=eqp である。

よって、応力テンソルや歪テンソルがもつ独立成分は6つである。

このことに注意して次のようにおく。



これを 『 Voigt表記(フォークト表記)』 という。

以下の議論ではVoigt表記(フォークト表記)を用いることも多い。

定義 ( 弾性定数 )

Voigt表記(フォークト表記)を用いると、フックの法則は次のように表される。



この cij を 『 弾性定数 』 という。

定義 ( 等方弾性体 )

弾性定数が座標系に依存しない弾性体を 『 等方弾性体 』 という。

参考 ( 均質等方弾性体 )

弾性定数が弾性体内部の位置に依存しない弾性体を 『 均質等方弾性体 』 という。

復習 ( ラメ定数 )

等方弾性体の弾性定数は2つの定数λとμによって次のように表される。



式変形すると、



このλとμを 『 ラメ定数 』 という。

証明((*1)から(*2)を導く)

(*1)より、σkk=(3λ+2μ)ekk である。

これにより、(*1)から(*2)を得る。

定義 ( ヤング率とポアソン比 )

軸方向に向きをもつ棒を x 軸方向に伸ばす。

このとき、E=σ33/e33 を 『 ヤング率 』 という。

また、ν=−e11/e33=−e22/e33 を 『 ポアソン比 』 という。

つまり、ヤング率は物体の 「 伸びやすさ 」 を表す定数である。

また、ポアソン比は x に垂直な方向に対する 「 縮みやすさ 」 を表す定数である。

ヤング率は 『 縦弾性定数 』 と呼ばれることもある。

定義 ( 体積弾性率 )

P を等方的な外力とする。

θを体積歪とする。

このとき、K=−P/θを 『 体積弾性率 』 という。

つまり、体積弾性率は、等方的な圧縮や膨張に対する体積変化を表す定数である。

定義 ( 横弾性定数 )

下図のような単純せん断変形を考える。



いま、σ12=τであり、σ11=σ22=σ33=σ23=σ31=0 である。

よって、e12=σ12/(2μ)=τ/(2μ)である。(※定義(ラメ定数)の(*2))

ここで、G=τ/(2e12)とおく。

このとき、G を 『 横弾性定数 』 という。

むろん、G=μである。

P13 ( 弾性定数の関係 )

次が成り立つ。









(1)と(2)の証明

引っ張る方向を x とする。

いま、応力は σ33 のみである。

よって、次のように計算される。(※定義(ラメ定数)の(*2))





よって、



(3)の証明

等方的な外力を P とする。

いま、σ11=σ22=σ33=−P である。

また、σ12=σ23=σ31=0 である。

よって、次のように計算できる。(※定義(ラメ定数)の(*1))



よって、

(4)と(5)の証明

(1)と(2)より明らかである。

P14 ( 関係式〜応力と歪ver )

次が成り立つ。









(1)と(2)の証明

既に述べた。(※定義:ラメ定数)

(3)と(4)の証明

P13の(4)と(5)を、今回の(1)や(2)に代入すればよい。