4元ベクトル→速度(と波動)のローレンツ変換→質量とエネルギーの等価性

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要請 ( ローレンツ共変性 )

ローレンツ変換に対して運動方程式は同じランクのテンソルとして表される。

このことを 『 ローレンツ共変性 』 という。

以下、この要請によって運動方程式は4元ベクトルで表される必要があることが示される。

その結果、有名な方程式 E=mc を得る。

注意 ( アインシュタインの規約 )

1つの項の中で、ある指標が上側と下側に1度ずつ現れるとする。

このとき、その指標について総和をとるルールを定める。

これを 『 アインシュタインの規約 』 という。

例えば、次のような式を考えよう。



アインシュタインの規約を用いると、上式を次のように表せる。

アインシュタインの規約は、幾何学や物理学で有用である。

定義 ( ミンコフスキ時空〜初等ver )

(ct、x、y、z)を座標とする。

2点(ct、x、y、z)と(ct、x、y、z)の距離 s を次のように定める。

(*) s=−c(t−t+(x−x+(y−y+(z−z

このような距離 s が定められた空間を 『 ミンコフスキ時空 』 という。

以下の議論では(ct、x、y、z)を(x、x、x、x)と表すこともある。

定義 ( ローレンツ・ブースト )

次のような変換を考える。



ただし、



このような変換を 『 方向 x への速度 v のローレンツ・ブースト 』 という。

同様に、「 方向 x 」 と 「 方向 x 」 へのローレンツ・ブーストを定義できる。

つまり、次のように表せる。(※注意:アインシュタインの規約)



つまり、Lμνは対称行列である。

むろん、次のように表しても意味は同じである。

定義 ( ローレンツ変換 )

各方向へのローレンツ・ブーストと座標回転を合わせたものを 『 ローレンツ変換 』 という。

参考 ( ミンコフスキ時空のローレンツ変換不変性 )

ローレンツ変換に対してミンコフスキ時空の距離 s は不変である。

証明

既知とする。

定義 ( 4元ベクトル )

V=(V、V、V、V)をベクトルとする。

V はローレンツ変換に対してミンコフスキ時空の位置べクトルと同様の変換を受けるとする。

このとき、V を 『 4元ベクトル 』 という。

つまり、V’μ=Lμνν である。

定義 ( ミンコフスキ計量 )

次のように定義する。



このとき、(ημν)を 『 ミンコフスキ計量 』 という。

計量を用いると、内積は Vμ=ημνν と表せる。

つまり、計量は添字を下げる。

(ημν)の逆行列を(ημν)と表す。

むろん、ημνηνλ=δμλ である。

また、(ημν)=diag(−1、1、1、1)=(ημν)である。

定義 ( 内積 )

V=(V、V、V、V)をベクトルとする。

その内積をημνμνで定義する。

むろん、ημνμν=−(V+(V+(V+(V である。

定義 ( スカラー )

ローレンツ変換に対して不変な量を 『 スカラー 』 という。

定義 ( 反変ベクトル、共変ベクトル )

(V、V、V、V)をベクトルとする。

(V、V、V、V)=(−V、V、V、V)と定義する。

このとき、(V、V、V、V)を 『 共変ベクトル 』 という。

一方、今までの通常のベクトル(V、V、V、V)を 『 反変ベクトル 』 という。

共変ベクトルを用いると内積を表記するときに都合がよい。

実際、ημνμν=Vμμ である。(※定義:内積)

計算を用いると、共変ベクトルは Vμ=ημνν と表される。

つまり、計量は添字を下げる。

P1 ( 計量による表示 )

V=(V、V、V、V)を4元ベクトルとする。

V’μ=Lμνν をローレンツ変換とする。

μν をLμν の逆行列とする。( つまり μν=δμν である )

このとき、次が成り立つ。

(1) ημνμν=ηab

(2) μ=ημννηba

(3) V’μ μ

(4) VμμνV’ν

(5) μν(v)=Lμν(−v)

補足

一見すると上式は複雑に見えるかもしれない。

しかし、Lとηが対称行列であることに注意すれば、上式はシンプルであることに気付くであろう。

(1)の証明

ミンコフスキ時空における位置ベクトルの微小変化を xμ→xμ+dxμ と表す。

いま、ds=−(dx+(dx+(dx+(dx=ημνdxμdxν である。(★)

また、dx’μ=Lμνdxν である。

よって、ds=ημνdx’μdx’ν=ημν(Lμdx)(Lνdx)=ημνμκνdxdx である。

一方、(★)の添字を変更して ds=ηabdxdx である。

よって、ημνμν=ηab である。

(2)の証明

(1)より、ημνμν=ηab である。

上式の両辺にηmaを掛ける。

すると、ηmaημνμν=ηmaηab=δ である。

上式の両辺に を掛ける。

すると、=δ=ηmaημνμν=ηmaημνμδν=ηmaημcμ=ημcμηma である。

(3)の証明

(2)より、次のように計算できる。(※定義(内積)の計算)

(*) V’μ=ημνV’ν=ημνν=ημννηabμ

(4)の証明

いま、V’μ=Lμνν である。

上式の両辺に、νμ を掛けると、VννμμνννμV’μ である。

(5)の証明

とくに、方向 x のブーストについて示す。

(2)より、



最後の式は、ローレンツ変換の速度 v を −v に置き換えた形である。

参考

4元ベクトルの内積はスカラーである。

証明

V’μ=Lμνν、W’μ=Lμνν をローレンツ変換とする。

いま、次のように計算できる。(※P1)

(*) ημνV’μW’ν=ημνμν=ημνμν=ηab

つまり、内積はローレンツ変換に対して不変である。

P2 ( 速度と加速度のローレンツ変換 )

S、S’を慣性系とする。

S において速度 v=(v、v、v) で運動している物体を考える。

S’は S の x 軸方向に速度 V で運動しているとする。

このとき、物体の速度 v のローレンツ変換は、



また、物体の加速度のローレンツ変換は、

補足

つまり、速度のローレンツ変換は4元ベクトルのローレンツ変換と一致しない。

つまり、dxμ/dt は4元ベクトルではない。

(1)〜(3)の証明

ローレンツ変換は、



よって、

(4)〜(6)の証明

(1)〜(3)の証明で示したように、



後は、(1)〜(3)を t で微分し、上式で割ればよい。

参考 ( 波動のローレンツ変換 )

光速度 c で伝播する波を表す波動方程式はローレンツ変換に対して不変である。

証明

いま、P1(4)より、



よって、



さて、光速度 c で伝播する波を表す波動方程式は、



むろん、上式は次のように表せる。



(*1)より、上式左辺のローレンツ変換は、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ミンコフスキ時空の位置ベクトルの微小変化を xμ→xμ+dxμ と表す。

いま、ds=−(dx+(dx+(dx+(dx である。

つまり、



また、次のように計算できる。(※ミンコフスキ時空のローレンツ変換不変性、P1)



(*3)、(*4)、(*2)より、

定義 ( 固有時間 )

次のように定義する。



このとき、τを 『 固有時間 』 という。

以下で確認するように、dt=γdτ となることに注意。

ただし、



つまり、光と共に移動する座標系では時間は経過しない。

簡単に言えば、固有時間は 「(空間的に)静止している時計が表示する時刻 」 を意味する。

以下、このことを確認する。

慣性系 S において速度 v で移動する時計を考える。

S’を時計が(空間的に)静止する慣性系とする。

いま、v=(dx+dy+dz1/2/dt である。(★1)

また、dx’+dy’+dz’=0 である。(★2)

(★1)より、ds=−cdt+dx+dy+dz=−cdt(1−v/c)=−cγ−2dt である。

(★2)より、ds=−cdt’ である。

よって、dt=γdt’である。

そこで、dτ=dt’=(1/γ)dt=−(1/c)ds と定義する。

つまり、固有時間τは(空間的に)静止している時計が表示する時刻を意味する。

別の視点から固有時間の定義を考えてみよう。

ニュートン運動方程式 F=ma を修正してローレンツ変換不変となるようにしたい。

どうすればよいだろう?

ニュートン力学において質点の位置 xμ は時間 t の関数として表される。

むろん、これは時間が空間と無関係であることを前提としている。

しかし、相対性理論において時間と空間は無関係ではない。

この部分を修正しなければならない。

そこで、ローレンツ変換に対して不変なパラメータを見つけ、これによって xμ を表示したい。

むろん、ローレンツ変換不変なパラメータとして距離 Δs は候補である。

しかし、困ったことに、通常の物体の運動に対して Δs<0 である。

まず、このことを確認しよう。

通常の物体に対して v=Δx/Δt<c である。

また、Δs=ημνΔxμΔxν=−c(Δt)+(Δx である。(★3)

よって、Δs<0 である。

このようにパラメータが負であると都合が悪い。

そこで、Δs=−c(Δτ) とおく。(★4)

むろん、(★3)と(★4)より、

明らかに、定義 −c(Δτ)=ημνΔxμΔxν より、τはローレンツ変換に対して不変である。

定義 ( 4元速度、4元運動量 )

既に確認したように、dxμ/dt は4元ベクトルではない。(※P2)

その理由は、ローレンツ変換に対して dxμ だけでなく、dt も変換されてしまうからである。

一方、固有時間τはローレンツ変換に対して不変である。

よって、dxμ/dτは4元ベクトルである。

そこで、dxμ/dτを 『 4元速度 』 という。

また、pμ=mdxμ/dτ ( m は質量 ) を 『 4元運動量 』 という。

次のように計算できる。



つまり、p=mγc であり、pμ=mγvμ である。

定義 ( 4元力 )

S において速度 v=(v、v、v) で運動している物体を考える。

u=(u、u、u、u)を4元速度とする。

=m と定義する。

f=(f、f、f、f)と定義する。

=c−1f・v、F=γf ( k=1、2、3 ) と定義する。

このとき、(F、F、F、F)を 『 4元力 』 という。

ある瞬間に慣性系 S’ から質点を見たときに、それは静止しているとする。

つまり、この瞬間は mdx’/dt’=F’、dx’/dt’=0 ( k=1、2、3 ) である。

ここで、md’/dt’=F’を追加する。

むろん、F’=0 である。(※x’=ct’)

まとめると、mdμ’/dt’=Fμ’ ( μ=0、1、2、3 ) である。

いま、S’は静止系であるから t’をτに置き換えてよい。

つまり、mdμ’/dτ=Fμ’である。(★)

いま、上式左辺は反変ベクトルである。

よって、運動方程式がローレンツ変換不変であるためには Fμ’も反変ベクトルでなければならない。

また、ローレンツ変換 S’→S に対して(★)は mdμ/dτ=Fμ となる。

P3 ( 相対論的運動方程式 )

を4元運動量とする。

を4元力とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

既に示した。(※定義(4元力)の補足)

定義 ( 静止質量 )

m=mγとおく。

つまり、



すると、m は v=0 のときの質量 m と見なせる。

そこで、m を 『 静止質量 』 という。

定義 ( 相対論的運動エネルギー )

E=mγとおく。

このとき、E を 『 相対論的運動エネルギー 』 という。

P3、定義(4元運動量)より、



つまり、



つまり、E の増加分は力積に相当する。

物体が受ける力積は物体のエネルギーへ変換される。

つまり、E はエネルギーを意味する。

参考 ( 質量とエネルギーの等価性 )

v=0 ならば相対論的エネルギーは E=mc である。

証明

速度 v が十分小であるとすると、次のように表せる。(※定義(相対論的エネルギー)、テイラー展開)



つまり、E はニュートン力学の運動エネルギーを含む。

v=0 とすると、E=m である。