4元速度→特殊相対論の運動方程式→質量とエネルギーの等価性

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参考 ( 概要 )

このページでは次を議論する。

(1) 4元速度、4元加速度、4元運動量

(2) 4元力

(3) 特殊相対論の運動方程式

(4) E=mc

とくに、E=mc は 「 質量とエネルギーの等価性 」 として有名である。

復習 ( x方向のローレンツ変換 )

S(ct、x、y、z)を慣性系とする。

S’(ct’、x’、y’、z’)を S に対して速度 V=(V、0、0)で移動する慣性系とする。

このとき、

つまり、



つまり、移動に対して垂直な成分は不変である。

また、変換行列は対称行列である。

復習 ( 一般のローレンツ変換 )

S(ct、x、y、z)を慣性系とする。

S’(ct’、x’、y’、z’)を S に対して速度 V=(V、V、V)で移動する慣性系とする。

このとき、



ただし、

P1 ( ローレンツ変換の不変量 )

a’=∧a、b’=∧b をローレンツ変換とする。

このとき、

補足

よく知られているように、直交行列 U による変換に対して内積 は不変である。(★1)

一方、今回の定理より、ローレンツ変換Λに対して内積 ηij は不変である。(★2)

(★1)より、距離|a−b(a−b)(a−b)をつくれる。

同様に、(★2)から距離をつくれる。

実際、次のようにおけばよい。



すると、

証明

いま、a’=Λa であり、b’=Λb である。

また、a’=Λ である。

また、ΛηΛ=ηである。(※地道に計算すれば出る。V=V+V+Vに注意)

よって、a’ηb’=ΛηΛb=aηb である。

P2

ミンコフスキ空間において距離 s は座標に依存しない。

証明

A=(x)、B=(y)を S 系における事象とする。

これは S’系で(x’)=(Λ)、(y’)=(Λ)と表される。

よって、次のように計算できる。(※P1)

P3 ( 速度の変換則 )

S を慣性系とする。

=(v(t)、v(t)、v(t))を S 系における粒子の速度とする。

S’を S に対して x 軸方向に速度 V で移動する慣性系とする。

このとき、S’における粒子の速度は次のように表される。

補足

(t)=c を代入することで光速度不変性を確認できる。

実際、

補足

v’(t’)の式を逆に解くと、



これは S’系に対して S 系が −V で移動していると見なすこともできる。

証明

定義(x軸方向のローレンツ変換)より、



よって、





P4 ( 加速度の変換則 )

S を慣性系とする。

=(a(t)、a(t)、a(t))を S 系における粒子の加速度とする。

S’を S に対して x 軸方向に速度 V で移動する慣性系とする。

このとき、S’における粒子の加速度は次のように表される。





証明

次のように計算できる。(※P3)



定義 ( 固有時間 )

慣性系 S において速度 v=(v、v、v) をもつ物体があるとする。

次のように定義する。



これはローレンツ変換に対して不変である。(★)

この dτ を 『 固有時間 』 という。

A と B を事象(ミンコフスキ空間上の点)とする。

いま、



ただし、(★)より、



つまり、dτを用いれば、座標変換に依存せずに A と B の時間間隔を計算できる。

(★)の証明

x’=∧ をローレンツ変換とする。

これを t’で微分すると、



よって、次が成り立つ。(※P1(あるいは補足))



つまり、



むろん、



よって、



つまり、

定義 ( 4元ベクトル )

x’=∧ をローレンツ変換とする。

ある量の、S系(x)における値を h とし、S’系(x’)における値を h’ とする。

h’=∧ が成り立つとする。

このとき、この量を 『 4元ベクトル 』 という。

定義 ( 4元速度、4元加速度、4元運動量 )

次のように定義する。







このとき、u を 『 4元速度 』 といい、a を 『 4元加速度 』 といい、p を 『 4元運動量 』 という。

の定義式では d(ct)/dτ=γc や dx/dτ=γv に注意。(※定義:固有時間)

4元速度が4元ベクトルであることを確認する。

定義(x軸方向のローレンツ変換)より、



既に確認したように、固有時間τは座標系に依存しない。(※定義(固有時間)の補足)

よって、上式の両辺をτで微分できる。

すると、むろん、



つまり、4元速度は4元ベクトルである。

4元加速度も4元ベクトルである。(証明省略)

むろん、4元運動量は4元ベクトルである。(※4元速度は4元ベクトル)

|v|が十分小である場合、γ=1である。

この場合、p はニュートン力学の運動量に一致する。

定義 ( 4元力 )

速度 v をもつ粒子に力 f=(f、f、f)が働いているとする。

次のように定義する。



このとき、F を 『 4元力 』 という。

4元力が4元ベクトルであることを示す。

いま、



上式を t で微分して2で割ると、



両辺に m/γ を掛けると、



つまり、



よって、





つまり、



よって、F は4元ベクトルである。(※Pは4元ベクトル)

P5 ( 特殊相対論の運動方程式 )

4元運動量 p、4元力 F、固有時間τに対して次が成り立つ。

証明

既に示した。(※定義(4元力)の補足)

定義 ( 静止質量、相対論的運動エネルギー )

次のように定義する。



すると、m は v=0 のときの質量 m と見なせる。

そこで、m を 『 静止質量 』 という。

また、E を 『 相対論的運動エネルギー 』 という。

P5、定義(4元運動量)より、



つまり、



つまり、E の増加分は力積に相当する。

物体が受ける力積は物体のエネルギーへ変換される。

つまり、E はエネルギーを意味する。

参考 ( 質量とエネルギーの等価性 )

v=0 ならば相対論的エネルギーは E=mc である。

証明

速度 v が十分小であるとすると、次のように表せる。(※定義(相対論的エネルギー)、テイラー展開)



つまり、E はニュートン力学の運動エネルギーを含む。

v=0 とすると、E=m である。