特殊相対性理論と一般相対性理論の要請

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要請 ( 特殊相対性理論 )

次を要請する。

(1) 速さの次元をもつ物理定数 c が存在する。

(2) 質点の運動はミンコフスキ空間内の曲線によって表される。

(3) ローレンツ変換に対して運動方程式は同じランクのテンソルで表される。

上記の要請に基づく理論を 『 特殊相対性理論 』 という。

(1)を 『 光速度不変性 』 という。

(2)の曲線を 『 世界線 』 という。

(3)を 『 ローレンツ共変性 』 という。

むろん、入門の段階では上記の内容を理解できないであろう。

ただし、(1)の内容だけは知識がない人でも理解できるであろう。

むろん、(1)の物理定数 c は光速度を意味する。

また、最初からすべてを理解する必要はない。

これらの内容は相対性理論の学習を進めていけば自然と理解されることである。

要請 ( 一般相対性理論 )

次を要請する。

(1) 計量テンソル場は宇宙における物質の質量とエネルギーの分布によって定まる。

(2) 質点に力が作用しない場合、質点の運動はローレンツ多様体の測地線として記述される。

上記の要請に基づく理論を 『 一般相対性理論 』 という。

(1)を決める重力場方程式を 『 アインシュタイン方程式 』 という。

アインシュタイン方程式はニュートンの運動方程式に相当する。

重力が弱い場合、アインシュタイン方程式はニュートンの運動方程式に一致する。

(2)は 「 万有引力が曲率の効果である 」 を意味する。

つまり、万有引力が時空の歪みであるという主張である。

一般相対性理論は特殊相対性理論に重力を考慮したものである。

参考 ( 特殊相対性原理、一般相対性原理 )

次のような主張を考える。

(*1) すべての物理法則はローレンツ変換に対して共変な形で記述される。

(*2) すべての物理法則は任意の座標変換に対して共変な形で記述される。

主張(*1)を 『 特殊相対性原理 』 という。

主張(*2)を 『 一般相対性原理 』 という。

特殊相対性原理を素朴に表現すると、次のようになる。

(**1) すべての物理法則は異なる慣性系において同じ形で記述される。

一般相対性原理を素朴に表現すると、次のようになる。

(**2) すべての物理法則は異なる座標系において同じ形で記述される。

もしかしたら、

「(**1)と(**2)の違いが分からない 」

・・・という人がいるかもしれない。

よく知られているように、慣性系はガリレイ変換に対して不変である。

素朴に言い換えると、慣性系において等速直線運動する座標系は慣性系である。

つまり、1つ慣性系があれば、無限に慣性系が存在する。

ただし、慣性系において加速度運動する座標系は慣性系ではない。

つまり、特殊相対性原理は加速度系に対しては何も主張していない。

一方、一般相対性原理は加速度系も含んでいる。

参考 ( 等価原理〜その1 )

次のような主張を考える。

(*) 局所的にローレンツ系をとることができる。

次のように表現しても意味は同じである。

(*) 計量テンソル場において座標変換によって局所的にリーマン計量 gμν はミンコフスキ計量ημν となる。

この主張を 『 等価原理 』 という。

等価原理は証明可能である。

等価原理を素朴に表現すると次のようになる。

(*1) 『 加速度によって生じる見かけの加速度運動 』 と 『 重力 』 は原理的に区別できない。

あるいは、

(*2) 重力は座標系の加速度運動によって打ち消すことができる。

むろん、重力は場所や時間によって変化する。

よって、全時空において重力を打ち消す座標系は存在しない。

つまり、上の(*1)や(*2)は局所的に成り立つ。

これが局所ローレンツ系をとれるということである。

等価原理は力学では当然である。

ただし、相対性理論では、力学的現象だけでなく、電磁気的現象に対しても等価原理を主張する。

例えば、重力による光の湾曲がある。

既に述べたように、力学において等価原理は当然である。

例えば、ある箱の中に人がいて、この人は(1つの)ボールをもっているとする。

この人がボールから手を離すと、ボールは加速度 g で落下したとする。

いま、この箱は次のどちらの状態であろうか?

(*1) 箱は地球上に静止している。

(*2) 箱は宇宙空間で加速度 −g で運動している。

むろん、これを区別することはできない。

実際、(*1)と(*2)のどちらの場合でもボールは加速度 g で落下する。

つまり、重力を加速度に置き換えることができる。

これが等価原理である。

では、等価原理を要請すると、箱の中で重力と加速度運動を区別することは不可能なのだろうか?

そうではない。

例えば、いま、箱は地球上にあるとしよう。

ここで、箱の中の人が両手に2つのボールをもち、手を離すとする。

すると、ボールは地球の中心に向かって落下する。

つまり、ボールの落下は完全な平行ではない。

一方、箱が宇宙空間で加速度 −g で運動しているとしよう。

この場合、ボールの落下は完全に平行となる。

つまり、重力と加速度運動を区別できる。

参考 ( 万有引力 )

質量 m と質量 M の物体が距離 r だけ離れているとする。

このとき、2つの物体の間には大きさ|F|=GMm/r の引力が作用する。

とくに、G を 『 万有引力定数 』 という。

実は、厳密には、上式に現れる m は、ニュートンの第2法則に書かれている m とは別物である。

つまり、F=ma の m とは別物である。

万有引力の式に書かれている m は 『 重力質量 』 と呼ばれている。

ニュートンの第2法則に書かれている m は 『 慣性質量 』 と呼ばれている。

慣性質量は物体の 「 動かしにくさ 」 を意味する。

ただし、現在(2017年)までのところ、実験では重力質量と慣性質量に差は発見されていない。

よって、重力質量と慣性質量は等しいものとして扱ってよい。( ちなみに、かなりの精度で確認されている )

よって、両者を区別せずに 『 質量 』 と呼んでよい。

ちなみに、重力質量と慣性質量が同一であることは、相対性理論の中で説明される。

参考 ( 等価原理〜その2 )

「等価原理〜その1」 は 「 重力質量=慣性質量 」 を意味する。

を慣性質量とする。

を重力質量とする。

いま、F=ma=GMm/r である。

重力質量と慣性質量の比が物質によって異なると仮定する。(★)

その場合、地上の自由落下で落下加速度は a=(m/m)GM/r は物質によって異なる。

ここで、箱の中に人がいて、ボールをもっているとする。

この人がボールから手を離すと、ボールは(落下せずに)静止したとする。

いま、箱は次のどちらの状態であろうか?

(*1) 箱は地球上で自由落下している。

(*2) 箱は宇宙空間に静止(または等速直線運動)している。

既に確認したように、仮定(★)の下で、m/m は物質によって異なる。

また、ボールと人では m/m が異なるので、(*1)ではボールが動いてしまう。

つまり、(*1)と(*2)を区別できる。

これは矛盾である。(※等価原理を要請すると(*1)と(*2)を区別できないから)

よって、m/m は物質によらず一定である。

よって、重力定数の値を適切に選べば、m=m となる。