SU(2)の生成子(パウリ行列)

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定義 ( ユニタリ行列 )

−1=A を満たす行列を 『 ユニタリ行列 』 という。

ただし、A はエルミート共役であり、「 A の複素共役の転置 」 を意味する。

n次ユニタリ行列全体は群である。

この群を 『 ユニタリ群 』 といい、U(n)と表す。

n次ユニタリ行列で、行列式+1となるもの全体は群である。

この群を 『 特殊ユニタリ群 』 といい、SU(n)と表す。

定義 ( パウリ行列 )

次のように定義する。



これらを 『 パウリ行列 』 という。

パウリ行列を用いると、空間座標を複素2次行列で表示できる。



明らかに、この複素行列 X は次を満たす。



とくに、第1式を 『 エルミート性 』 という。

ゆえに、トレース 0 のエルミート行列は、空間回転、量子力学、表現論などの分野で有用である。

P1 ( |detU|=1 )

ユニタリ行列の行列式の絶対値は1である。

証明

Uをユニタリ行列とする。

よく知られているように、一般に detA=det(A)である。(※線形代数)

よって、det(U)=(det(U))=(detU) である。

よって、|detU|=detU・(detU)=detUdetU=det(UU)=detI=1 である。

P2 ( SU(2)行列の一般形 )

SU(2)行列は次の形で表せる。

証明

A をユニタリ行列とする。( 特殊ユニタリ行列ではない )

次のようにおく。



いま、|detA|=1 である。(※P1)

よって、detA=exp(iθ)と表せる。(θは実数)

つまり、αδ−βγ=exp(iθ)である。(★1)

一方、



いま、AA=I である。

よって、αα+ββ=1 である。(★2)

また、γγ+δδ=1 である。(★3)

また、γα+δβ=0 である。(★4)

(★4)より、δ=−γα である。(★5)

(★5)を(★1)に代入し、(★2)を用いると、γ=−βexp(iθ)である。

これを(★5)に代入すると、δ=αexp(iθ)である。

以上により、



ここで、α=αexp(iθ/2)、β=βexp(iθ/2)とおく。

すると、



つまり、任意のユニタリ行列 A に対し、あるSU(2)行列 U が存在して A=exp(iθ/2)U と表せる。

これは任意のSU(2)行列 U が上記のように表されることを意味する。

実際、とくに A として特殊ユニタリ行列 U を考えればよい。

α と β を改めてαとβに置き直すと、

P3 ( SU(2)行列の生成子はパウリ行列である )

任意のSU(2)行列 U は次の形で表せる。

証明

いま、次の形で表せる。(※P2)



ここで、α=x+ix、β=x+ix とおく。

すると、結論を得る。