漸化式で表される数列

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定義 ( 数列 )

から への写像を 『 数列 』 という。

この写像による n∈ の値を a と表す。

また、数列を (an∈ と表す。

これを略して (a)と表すこともある。

また、項を明示して、a=(a、a、a、・・・)と表すこともある。

定義 ( V(p、1) )

(a)を数列とする。

ある c、・・・、c が存在して、an+p=cn+(p−1)+・・・+c であるとする。

このとき、「(a)は長さ p の1次漸化式をもつ 」 という。

このような数列全体を V(c、・・・、c;1)と表す。

明らかに、V(c、・・・、c;1)はベクトル空間である。

定義 ( ずらし写像 )

(a)を数列とする。

=an+1 とおく。

f:V(c、・・・、c;1)→V(c、・・・、c;1)を f(a)=b で定義する。

このとき、f を 『 ずらし写像 』 という。

定義 ( 数列の固有多項式 )

(a)∈V(c、・・・、c;1)とする。

このとき、F(x)=x−cp−1−・・・−c を 『(a)の固有多項式 』 という。

この時点では、なぜこれを固有多項式と呼ぶのか意味が分からないかもしれない。

この名前の由来はすぐ後の定理で分かる。

P1

=(1、0、*、*、*、・・・)∈V(c、c;1)とする。

=(0、1、*、*、*、・・・)∈V(c、c;1)とする。

このとき、{ e、e } は V(c、c;1)の基底である。

証明

明らかである。

P2

(a)を数列とする。

F(x)を(a)の固有多項式とする。

f:V(c、c;1)→V(c、c;1)をずらし写像とする。

(x)を f の固有多項式とする。

このとき、F(x)=F(x)である。

補足

これが F(x)を固有多項式と呼ぶ由来である。

証明

(a)∈V(c、c;1)とおく。

すなわち、ある c、c が存在して、an+2=cn+1+c である。(★)

次のようにおく。

=(1、0、*、*、*、・・・)∈V(c、c;1)

=(0、1、*、*、*、・・・)∈V(c、c;1)

(★)に注意すると、

=(1、0、c、・・・)

=(0、1、c、・・・)

このとき、

f(e)=(0、c、・・・)=0e+c

f(e)=(1、c、・・・)=1e+c

よって、基底 { e、e } に関する f の表現行列は、



よって、F(x)=x−cx−c である。

P3

(a)∈V(c、・・・、c;1)とする。

F(x)を(a)の固有多項式とする。

F(x)は p個の相異なる解λ、・・・、λ をもつとする。

( すなわち、F(x)は単根のみをもつとする )

このとき、ある A、・・・、A が存在して、a=Aλ+・・・+Aλ となる。

証明

p=2 の場合を考えれば十分である。

そこで、F(x)=(x−α)(x−β)であるとする。

f:V(c、c;1)→V(c、c;1)をずらし写像とする。

(x)を f の固有多項式とする。

このとき、F(x)=F(x)である。(※P2)

よって、F(x)=(x−α)(x−β)である。

よって、f は対角化可能である。

u をαに対する固有ベクトルとする。

v をβに対する固有ベクトルとする。

このとき、{ u、v } は V(c、c;1)の基底である。

いま、u∈V(c、c;1)であり、f(u)=αu である。

u=(u、u、・・・)と表す。

f の定義より、f(u)=(u、u、・・・)である。

よって、u=αu、u=αu、・・・である。

よって、u は公比αの等比数列である。

よって、u=(1、α、α、・・・)とおいてよい。

同様に、v=(1、β、β、・・・)とおいてよい。

いま、{ u、v } は V(c、c;1)の基底である。

よって、任意の a=(a)∈V(c、c;1)に対し、あるA、B∈ が存在して、a=Au+Bv となる。

よって、a=Aα+Bβ である。

参考

前のページでは、長さ p の1次漸化式で定まる数列について考え、

その固有多項式が p個の相異なる根をもつ場合について議論した。

すなわち、根が単根のみをもつ場合を考えた。

一方、このページでは重根をもつ場合も含めて議論する。

復習 ( 巾零変換 )

f:V→V を線形変換とする。

ある自然数 N が存在して、f=0 となるとする。

このとき、f を 『 巾零変換 』 という。

とくに、f=0 を満たす自然数 N で最小のものを 『 f の指数 』 という。

P4

(a)∈V(c、・・・、c;1)とする。

F(x)を(a)の固有多項式とする。

F(x)=(x−λ) であるとする。

このとき、(a)の一般解は次の(1)または(2)のように表される。



ただし、A や B は定数である。

(1)の証明

f:V(c、・・・、c;1)→V(c、・・・、c;1)をずらし写像とする。

J を f のジョルダン標準形とする。

(x)を f の固有多項式とする。

いま、F(x)=F(x)である。(※P2)

よって、f の固有値はλのみである。

V(λ)をλの固有空間とする。

このとき、V(λ)は等比数列(λ)を基底とする1次元空間である。

よって、J は1つのジョルダン細胞である。

つまり、J=J(λ、p)である。

よって、f−λI は指数 p の巾零変換である。

b∈V(c、・・・、c;1)とおく。

次のようにおく。

=(f−λI)p−1b、・・・、ap−1=(f−λI)b、a=b

いま、{ a、・・・、a } は V(c、・・・、c;1)の基底である。(※ジョルダン標準形)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、(f−λI)a=(f−λI)b=0 である。

よって、f(a)=λa である。

よって、a は等比数列(λ)のスカラー倍である。

ここでは、a=λ として議論を進める。

( スカラー倍の部分を省いてよい理由は後で説明する )

一方、(f−λI)a=a、・・・、(f−λI)a=ap−1 である。(★1)

このとき、(★1)の解は次のようになる。(詳しい計算は省略する)

(a)=λ、(a)=λn−1、・・・、(a)=p−1λn−p+1

( 実際に代入して確認してみるとよい )

いま、{ a、・・・、a } は V(c、・・・、c;1)の基底である。

よって、V(c、・・・、c;1)の任意の元は、a、・・・、a の1次結合で表される。

すなわち、a0≦k≦p−1 λn−k である。

( 先ほど、スカラー倍を省いていたが、その部分はこの係数の中に含まれる )

(2)の証明

(1)より明らかである。(※高校程度の簡単な式変形)