磁気双極子モーメント

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参考 ( 概要 )

電気双極子モーメント p=qd によって生じる電場は、



磁気双極子モーメント μ によって生じる磁場は、



明らかに、(*2)は(*1)と同じ形をしている。

このページでは(*2)を導く。

参考 ( 「真空の誘電率」と「真空の透磁率」の間に成り立つ関係 )

真空の誘電率εと真空の透磁率μの間に cμε=1 が成り立つ。

ここで、c は光速を意味する。

さらに、一般に、c’με=1 である。

ここで、c’は物質中の光の速度、μは物質の透磁率、εは物質の誘電率である。

参考 ( 静磁場のマクスウェル方程式 )

静磁場のマクスウェル方程式(積分形)は次のように表される。

静磁場のマクスウェル方程式(微分形)は次のように表される。

(M4)を 『 アンペールの法則 』 という。

参考 ( スカラーポテンシャルの存在、ベクトルポテンシャルの存在 )

(1) 任意のスカラー場φに対して ∇×(∇φ)=0 が成り立つ。

(2) ベクトル場 v が ∇×v=0 を満たすならば、あるスカラー場φが存在して v=∇φとなる。

(3) 任意のベクトル場 v に対して ∇・(∇×v)=0 が成り立つ。

(4) ベクトル場 v が ∇・v=0 を満たすならば、あるベクトル場 A が存在して v=∇×A となる。

参考 ( ポアソン方程式〜ベクトルポテンシャルver )

静磁場のマクスウェル方程式を仮定すると、あるベクトル場 A が存在して次を満たす。



逆に、(1)〜(3)を満たすベクトル場 A が存在すれば、静磁場のマクスウェル方程式が満たされる。

補足

(3)を 『(ベクトルポテンシャルの)ポアソン方程式 』 という。

一方、静電場の式で知られている ∇φ=−ρ/ε を 『(スカラーポテンシャルの)ポアソン方程式 』 という。

実際、これらの式は同じ形をしていることが分かる。

スカラーポテンシャルのポアソン方程式の場合、電荷密度ρから静電ポテンシャルφを求めることができる。

ベクトルポテンシャルのポアソン方程式の場合、電流密度 j からクーロンゲージ A を求めることができる。

補足

(3)の解は次のように表される。



このことはポアソン方程式 ∇φ=−ρ/ε の解が次のように表されることから分かる。



つまり、(*2)のρを j/c に置き換えればよい。

補足

(*1)より、位置 r’ の微小体積 ΔV’にある電流密度 j(r’) が r につくるベクトルポテンシャルは、



ただし、Δsは電流の向きに沿う微小線分ベクトルである。

また、I は電流の大きさを意味する。

参考 ( 直線電流によって生じる電場 )

無限に長い直線状の導線を電流 I が流れているとする。

直線から距離 a だけ離れた点 P における磁場は円周方向である。

また、その強さは、

定義 ( 磁気双極子モーメント )

電流 I が平面上で閉経路を流れているとする。

閉経路に囲まれた面積は S であるとする。

μ を、電流に対して右ネジの進む向きで、大きさ|μ|=IS をもつベクトルとする。

このとき、μを 『 磁気双極子モーメント 』 という。

P* ( 磁気双極子モーメントによって生じる磁場 )

磁気双極子モーメント μ によって生じる磁場は、

証明

閉経路が長方形の場合について考える。

( 閉経路が長方形でない場合は多数の長方形に分割すればよい )

長方形の中心は原点であるとする。

x 方向の辺の長さを a とし、y 方向の辺の長さを b とする。

電流が位置 r につくるベクトルポテンシャルを A=(A、A、A)とする。

いま、x 軸に平行な電流のみが A に寄与する。(※参考(ポアソン方程式〜ベクトルポテンシャルver)の補足)

よって、次のように表せる。





ただし、上の計算では次の近似式を用いる。



むろん、A=0 である。

以上の内容をまとめると、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、∇・B=0 である。(※参考:静磁場のマクスウェル方程式)

よって、あるベクトル場 A が存在して B=∇×A となる。(※参考:ベクトルポテンシャルの存在)

つまり、



各値を代入すると、







ただし、上の計算では次のことを用いた。





以上により、