実験的事実→「シュレディンガー方程式と運動量オペレータの発見」

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参考 ( 概要 )

議論の流れを図示すると、

参考 ( 運動量オペレータを知ることは、シュレディンガー方程式を知ることにつながる )

「 量子力学は分かりにくい 」 という声をよく聞く。

原因は、何であろうか?

量子力学といえば、その中心になるのは 『 シュレディンガー方程式 』 であろう。

よって、量子力学を理解するためには、シュレディンガー方程式を理解すればよい。

逆に言えば、「 量子力学が分かりにくい 」 は 「 シュレディンガー方程式が分かりにくい 」 を意味する。

では、シュレディンガー方程式の何が難しいのだろう?

それを確認するため、シュレディンガー方程式をここに書く。



話を簡単にするためにシュレディンガー方程式を1次元に書き直すと、



とくに、入門者が戸惑う部分は H であろう。

よって、シュレディンガー方程式を理解するためには、H を理解すればよい。

さらに、量子力学には次のオペレータがある。



とくに、1次元の場合について書き直すと、



また、先ほどの H は p によって表示できる。

実際、



これは力学でよく知られている力学的エネルギー E=(2m)−1+V に相当する。

つまり、p は、運動量 p に対応していて、H はエネルギー E に対応している。

ゆえに、p は 『 運動量オペレータ 』 と呼ばれる。

また、H は 『 力学的エネルギーオペレータ 』 である。

ただし、H には特別な名前が付いていて、実際には 『 ハミルトニアン 』 と呼ばれる。

以上から分かるように、H と p は間違いなく量子力学の重要なポイントである。

しかし、p や H がどこから来たのであろうか?

シュレディンガー方程式はどこから来たのであろうか?

これが分からないことで入門者が戸惑うということがあると予想される。

そこで、このページでは次のことを議論する。

(1) シュレディンガー方程式はどのようにして発見されたのか?

(2) ハミルトニアン H はどのようにして発見されたのか?

(2) 運動量オペレータはどのようにして発見されたのか?

定義 ( 平面波 )

次のような正弦波を考える。



このとき、λを波長、Tを周期、A を振幅という。

ここで、k=2π/λ、ν=1/T、ω=2πν と定義する。

このとき、kを波数、νを振動数、ωを角振動数という。

ただし、1/λ を波数と呼ぶこともある。

明らかに、(*)は次のように表せる。



とくに、3次元の場合は、

明らかに、y(x、t+T)=y(x、t) である。

よって、T を周期と呼ぶことは自然である。

明らかに、y(x+λ、t)=y(x、t) である。

よって、λを波長と呼ぶことは自然である。

参考 ( 質量とエネルギーの変換 )

E を相対論的エネルギーとする。( 質量は m で、運動量は p であるとする )

このとき、次が成り立つ。

補足

この式はエネルギーと質量を結び付けている。

とくに、E=mc は、アインシュタインの相対性理論を代表する式として有名である。

証明

これは相対論に基づく。

ここでは天下り的に結果を認めることにする。

ただし、この式は後の議論の 『 別解 』 で用いるだけである。

よって、この省略によって後の理解に被害が出ることはない。

P1 ( 光電効果 )

金属板に光を当てると、金属内部から電子が飛び出す。

これを 『 光電効果 』 という。

さらに、以下のことが観測される。

(1) 光の波長が、ある値 λ より大きい場合、強い光を当てても光電効果は出ない。

(2) 光の波長が、ある値 λ より小さい場合、弱い光を当てても光電効果が出る。

ただし、波長 λ は金属の種類によって異なる。

補足

λ=1/ν ( つまり ν は振動数 ) とおくと、(1)と(2)は次のように言い換えられる。

(*1) 光の振動数が、ある値 λ より小さい場合、強い光を当てても光電効果は出ない。

(*2) 光の振動数が、ある値 λ より大きい場合、弱い光を当てても光電効果が出る。

証明

これは実験的事実として認める。

P2 ( 光子のエネルギー )

光子のエネルギー E は次のように表される。

証明

アインシュタインは、光は粒子の性質をもっていると考えた。

そして、1つの光子のエネルギーは E=hν で表されるとした。

つまり、電子が光子のエネルギーを吸収して、金属の外へ飛び出すのだと考えた。

これによって、アインシュタインは光電効果を理論的に説明した。

補足

むろん、上記の説明は簡易的なものである。

ただし、ここでは、

「 光電効果は光の粒子性を示すもので、そのエネルギーはE=hνで表されるのだな 」

「 光子1個のエネルギーが E=hν で表されることは実験的に確認されているのだな 」

・・・ということを理解するだけで十分である。

P3 ( コンプトン効果 )

静止した原子に対して X 線を当てる。

X線として1個の光子が原子に当たると、X線は散乱して向きを変える。

同時に、原子に束縛されていた電子が弾き出される。

θ を 『 散乱後の X 線 』 と 『 弾き出された電子 』 が成す角とする。

ν を、散乱前の X 線の振動数とする。

ν’を、散乱後の X 線の振動数とする。

を電子の質量とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

X線は光であることに注意。

光の波長の違いによって、赤外線、可視光線、X線というように分類される。

証明

これは実験的事実として採用する。

P4 ( 光子の運動量 )

光子の運動量は次のように表される。

補足

(1)の証明は2通り用意した。

(1)の証明 ( 非相対論的 )

光子の運動量が p=(hν/.c)n で表されると仮定する。(★1)

下図のように角度を取る。( P3の場合とは角度の取り方が異なるので注意 )



散乱後の X 線の波長を λ’ と表す。

弾き出された電子の速さを v と表す。

いま、hc/λ=hc/λ’+(1/2)m である。(※エネルギー保存則)(★2)

また、h/λ=(h/λ’)cosθ+mvcosφ である。(※運動量保存則)(★3)

また、0=(h/λ’)sinθ−mvsinφ である。(※運動量保存則)(★4)

(★3)、(★4)より、φを消去すると、



さらに、(★2)によって v を消去すると、



ここで、Δλ=λ’−λに対し、Δλ/λ<<1 であることが分かっているとする。

いま、λ’/λ+λ/λ’≒2 と近似してよい。

よって、



つまり、最初の仮定(★1)が正しいことを意味する。

つまり、光子の運動量は p=(hν/.c)n で表される。

むろん、上記の議論だけで結論づけることはできない。

しかし、光子の運動量が p=(hν/.c)n であることを示す実験的事実は他にもある。

そこで、ここでは仮定(★1)が正しいことを認める。

(1)の証明 ( 相対論的 )

光子の運動量が p=(hν/.c)n で表されると仮定する。(★1)

いま、電子は静止していると考えてよい。

よって、電子のエネルギーは E=m である。(※参考:質量とエネルーの変換)

また、散乱前の X 線のエネルギーは hν である。(※P2)

また、散乱後の X 線のエネルギーは hν’である。(※P2)

E’を、弾き出された後の電子のエネルギーとする。

以上により、E’+hν’=m+hν である。(※エネルギー保存則)(★2)

また、(★1)より、(p’)+(hν’/c)n=(hν/c)n である。(※運動量保存則)(★3)

(★2)より、(E’)=(m+h(ν−ν’)) である。

(★3)より、(E’)=(mc+c(h/c)(νn−ν’n’ である。(※参考:質量とエネルーの変換)

よって、2mch(ν−ν’)−2hνν’=−2νν’h・(n’) である。

一方、n・(n’)=cosθ である。

よって、ν−ν’=h(m−1νν’(1−cosθ) である。

これはコンプトン効果の実験で得られた式と一致する。(※P3)

つまり、最初の仮定(★1)が正しいことを意味する。

(2)の証明

これは(1)を書き換えただけである。

P5

光子の質量は 0 である。

証明

を光子の質量とする。

いま、E=(hν) である。(※P2)(★)

また、次のように計算できる。(※参考(質量とエネルギーの変換)、P4)



(★)、(*)より、hν=√((hν)+m1/2 である。

よって、m=0 である。

P6 ( 非相対論的分散関係 )

光子のエネルギーを E=(1/2)mv とおくと、次が成り立つ。

補足

ω と k の間に成り立つ関係式を 『 分散関係 』 という。

証明

明らかである。(※P2、P4)

P7 ( 平面波のシュレディンガー方程式 )

次のようにおく。



次の分散関係が成り立つとする。(※P6)



このとき、

補足

(*1)を1次元で表すと、

補足

つまり、平面波に対してシュレディンガー方程式が成り立つことが確認された。

よって、一般の波動関数 ψ(x、t) に対してもシュレディンガー方程式が成り立つと推測できる。

そこで、量子力学ではシュレディンガー方程式を要請する。

すると、これによって多くの実験事実を説明できる。

大雑把に言えば、これがシュレディンガー方程式の発見である。

(1)の証明

簡略化のため、ここではポテンシャル V(r) を省略する。

つまり、



(*1)より、





よって、(*2)より、

(2)の証明

既に(1)で示したように、次が成り立つ。(※P2)

P8 ( 平面波は運動量オペレータの固有関数である )

次のようにおく。



次のように定義する。



このとき、



つまり、p は運動量オペレータである。

補足

とくに、1次元の場合について表すと、

補足

つまり、φに p を作用させると、運動量が現れる。

つまり、平面波 φ(x、t) に対して p が運動量オペレータであることが分かる。

よって、一般の波動関数 ψ(x、t) に対しても p が運動量オペレータであると推測できる。

大雑把に言えば、これが運動量オペレータの発見である。

補足

演算子ナブラ ∇ は次のように定義される。



上では2通りで表示したが、意味は同じである。

例えば、f(r)=f(x、y、z)=xyz とすると、

証明

いま、



同様に、





よって、



よって、次のように計算できる。(※P4)