光電効果、コンプトン効果

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参考 ( 概要 )

「 量子力学は分かりにくい 」 という声をよく聞く。

原因は、何であろうか?

量子力学といえば、その中心になるのは 『 シュレディンガー方程式 』 であろう。

よって、量子力学を理解するためには、シュレディンガー方程式を理解すればよい。

逆に言えば、「 量子力学が分かりにくい 」 は 「 シュレディンガー方程式が分かりにくい 」 を意味する。

では、シュレディンガー方程式の何が難しいのだろう?

それを確認するため、シュレディンガー方程式をここに書く。



話を簡単にするためにシュレディンガー方程式を1次元に書き直すと、



とくに、入門者が戸惑う部分は H であろう。

よって、シュレディンガー方程式を理解するためには、H を理解すればよい。

一方、量子力学には次のオペレータがある。



とくに、1次元の場合について書き直すと、



先ほどの H は p によって表示できる。

実際、



これは力学でよく知られている力学的エネルギー E に相当する。

つまり、



以上から分かるように、p が量子力学の重要なポイントである。

では、p はどこから来たのだろうか?

これについて考えてみよう。

まず、量子力学では次の関係が成り立つ。



とくに p に関する式を 『 ド・ブロイ関係式 』 という。

また、基本的な波動関数として次を考える。



これは平面波に相当する。

ここに、p や H を作用させてみよう。

すると、





つまり、p をψに作用させると p が出る。

また、H をψに作用させると E が出る。

つまり、p と p を対応していて、H と E は対応している。

そこで、p を 『 運動量オペレータ 』 という。

また、H は 「 エネルギーオペレータ 」 である。

ただし、H には 『 ハミルトニアン 』 という特別な名前が付いている。

むろん、今回の結果は平面波について確認しただけである。

ただし、今回の結果が一般の波動関数に対しても成り立つと予想することはできる。

つまり、シュレディンガー方程式が一般に成り立つと予想できる。

実際、シュレディンガー方程式は他の実験事実を説明する。

例えば、無限井戸、水素原子、デバイスの設計に関する問題を解く。

以上により、p や H の出自は理解されたであろう。

ところで、この説明では最初に(*)を仮定した。

これは 『 光電効果 』 と 『 コンプトン効果 』 などによって確認されている。

そこで、このページでは 『 光電効果 』 と 『 コンプトン効果 』 について説明する。

逆に言えば、関係(*)を認めれば、光電効果やコンプトン効果を学ぶ必要はない。

実際、光電効果やコンプトン効果は(*)を示す 「 1つの実験事実 」 である。

とくに、光電効果やコンプトン効果は光に関する実験である。

しかし、実際には(*)を電子などにも用いることになる。

参考 ( 光電効果 )

金属板に光を当てると、金属内部から電子が飛び出す。

これを 『 光電効果 』 という。

さらに、以下のことが観測される。

(1) 光の波長が、ある値 λ より大きい場合、強い光を当てても光電効果は出ない。

(2) 光の波長が、ある値 λ より小さい場合、弱い光を当てても光電効果が出る。

ただし、波長 λ は金属の種類によって異なる。

補足

λ=1/ν ( つまり ν は振動数 ) とおくと、(1)と(2)は次のように言い換えられる。

(*1) 光の振動数が、ある値 ν より小さい場合、強い光を当てても光電効果は出ない。

(*2) 光の振動数が、ある値 ν より大きい場合、弱い光を当てても光電効果が出る。

証明

これは実験的事実として認める。

P1 ( エネルギー )

アインシュタインは光子のエネルギー E は次のように表されると考えた。



これによって、アインシュタインは光電効果を理論的に説明した。

証明

理論の詳細には立ち入らない。

ただし、光の波動性のみを仮定すると光電効果は説明できない。

光電効果を説明するためには、光のエネルギーが量子化されている必要がある。

つまり、光のエネルギーは E=hν、2hν、3hν、・・・のように離散化されていると考えられる。

参考 ( コンプトン効果 )

静止した原子に対して X 線を当てる。

X線として1個の光子が原子に当たると、X線は散乱して向きを変える。

同時に、原子に束縛されていた電子が弾き出される。

ここで、下図のように角度を取る。



θ を 『 散乱後の X 線 』 と 『 弾き出された電子 』 が成す角とする。

λ を、散乱前の X 線の波長とする。

λ’を、散乱後の X 線の波長とする。

を電子の質量とする。

このとき、次が成り立つ。

補足

X線は光であることに注意。

光の波長の違いによって、赤外線、可視光線、X線というように分類される。

証明

これは実験的事実として採用する。

P2 ( 運動量 )

光子の運動量は次のように表される。

(1)の証明

光子の運動量が p=(h/λ)n=(hν/.c)n で表されると仮定する。(★1)

下図のように角度を取る。



散乱後の X 線の波長を λ’ と表す。

弾き出された電子の速さを v と表す。

いま、hc/λ=hc/λ’+(1/2)m である。(※P1、要請:エネルギー保存則)(★2)

また、(★1)より、h/λ=(h/λ’)cosθ+mvcosφ である。(※要請:運動量保存則)(★3)

また、(★1)より、0=(h/λ’)sinθ−mvsinφ である。(※要請:運動量保存則)(★4)

(★3)、(★4)より、φを消去すると、



さらに、(★2)によって v を消去すると、



ここで、Δλ=λ’−λに対し、Δλ/λ<<1 であることが分かっているとする。

いま、λ’/λ+λ/λ’≒2 と近似してよい。

よって、



これはコンプトン効果に一致する。(※参考:コンプトン効果)

つまり、最初の仮定(★1)が正しいことを意味する。

つまり、光子の運動量は p=(hν/.c)n で表される。

むろん、上記の議論だけで結論づけることはできない。

しかし、光子の運動量が p=(hν/.c)n であることを示す実験的事実は他にもある。

そこで、ここでは仮定(★1)が正しいことを認める。

(2)の証明

これは(1)を書き換えただけである。