線形微分方程式

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P1

y: を微分可能な関数とする。

このとき、微分方程式 y’(t)=βy(t)の解は次の形で表される。

y(t)=ceβt (c、βは複素数の定数)

しかも、解は上記の形に限る。

証明

y(t)=ceβt を t で微分すると、y’(t)=βceβt=βy(t)である。

よって、y(t)は微分方程式 y’(t)=βy(t)の解である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

g(t)を y’(t)=βy(t)の解とする。

すなわち、g’(t)=βg(t)である。

h(t)=g(t)e−βt とおく。

このとき、h’(t)=g’(t)e−βt−βg(t)e−βt=(g’(t)−βg(t))e−βt=0 である。

よって、h’(t)は定数である。

そこで、h’(t)=c とおく。

すると、g(t)=ceβt である。

定義 ( n階線形微分方程式 )

y: を無限回微分可能な関数とする。

、・・・、c、b: を連続関数とする。

次のような方程式を考える。



これを 『 n階線形微分方程式 』 という。

とくに、b(t)=0 のとき、『 n階斉次線形微分方程式 』 という。

定義 ( 微分作用素 )

f を微分可能な関数とする。

D を、f に f’を対応させる写像とする。

このとき、D を 『 微分作用素 』 という。

参考 ( コーシーの存在定理 )

次のような n階斉次線形微分方程式を考える。



t=t に対し、( u、・・・、un−1 ) を(*)の初期条件とする。

( すなわち、t=t に対し、y(t)=u、・・・、y(n−1)(t)=un−1 となるとする )

このような初期条件を満たす(*)の解は一意的に存在する。

これは 『 コーシーの存在条件 』 として知られている。

参考

任意の n階斉次線形微分方程式を考える。

y、y、y をその解とする。

明らかに、y+y や cy ( c は定数 ) もこの微分方程式の解である。

よって、n階斉次線形微分方程式の解全体は n次元ベクトル空間である。

これを 『 解空間 』 という。

参考

任意の n階斉次線形微分方程式を考える。

V をこの微分方程式の解空間とする。

D を微分作用素とする。

明らかに、f(x)∈V ならば f’(x)∈V である。

よって、V は D不変である。

そこで、D:V→V と見なすことができる。

今後、このことは断りなく用いる。

参考

以下では定数係数の斉次線形微分方程式について議論する。

定義 ( 微分方程式の固有多項式 )

次のような定数係数 n階斉次線形微分方程式を考える。



ここで、F(x)=x+cn−1+cn−2+・・・+c とおく。

このとき、F(x)を 『(*)の固有多項式 』 という。

この時点では、なぜこれを固有多項式と呼ぶのか意味が分からないかもしれない。

この名前の由来はすぐ後の定理で説明する。

P2

次のような定数係数の n階斉次線形微分方程式を考える。



F(x)の(*)の固有多項式とする。

V を(*)の解空間とする。

D:V→V を微分作用素とする。

を D の固有多項式とする。

このとき、F(x)=F(x)である。

証明

次のような n種類の初期条件を考える。

(1、0、・・・、0)

(0、1、・・・、0)

・・・

(0、0、・・・、1)

上記の各初期条件に対する(*)の解を、それぞれ y、・・・、y とする。

このとき、 y、・・・、y は V の基底である。

( コーシーの存在定理より、初期条件によって解が一意的に決まることから分かる )

明らかに、

D(y)=0y+0y+・・・+0yn−1−c

D(y)=1y+0y+・・・+0yn−1−cn−1

D(y)=0y+1y+・・・+0yn−1−cn−2

・・・

D(y)=0y+0y+・・・+1yn−1−c

よって、D の表現行列は、



(x)を D の固有多項式とする。

このとき、F(x)=x+cn−1+cn−2+・・・+c である。

( これは行列式の定義に気を付け、F(x)=|A−xE|を展開すれば分かる )

よって、F(x)=F(x)である。

P3

次のような定数係数の n階斉次線形微分方程式を考える。



F(x)を(*)の固有多項式とする。

F(x)は相異なる n個の単根λ、・・・、λ をもつとする。

このとき、eλ、・・・、eλ は V の基底となる。

また、(*)の一般解は、y=Aλ+・・・+Aλ と表される。

ただし、A、・・・、A は複素数の定数である。

証明 ( n=2の場合について考える。一般化は明らかである )

いま、F(x)=(x−α)(x−β)である。

D:V→V を微分作用素とする。

(x)を D の固有多項式とする。

いま、F(x)=F(x)である。(※P2)

よって、F(x)=(x−α)(x−β)である。

よって、D は対角化可能である。

u をαに対する固有ベクトルとする。

v をβに対する固有ベクトルとする。

このとき、{ u、v } は V の基底である。

いま、u∈V であり、D(u)=αu である。

D の定義より、D(u)=u’である。

よって、u’=αu である。

よって、u は eαt のスカラー倍である。(※P1)

そこで、u=eαt とおいてよい。

同様に、v=eβt とおいてよい。

いま、{ u、v } は V の基底である。

よって、任意の y∈V に対し、ある A、B∈ が存在して、y=Au+Bv である。

よって、y=Aeαt+Beβt である。

参考

前のページでは、定数係数の n階斉次線形微分方程式について考え、

その固有多項式が n個の根をもつ場合について考えた。

すなわち、単根のみである場合を考えた。

一方、このページでは重根をもつ場合も含めて議論する。

P4

次のような定数係数の n階斉次線形微分方程式を考える。



F(x)を(*)の固有多項式とする。

F(x)=(x−λ) であるとする。

このとき、(*)の解は次の形で表される。

f(t)=P(t)eλt

ただし、P(t)の次数は n−1以下であるとする。

証明

Vを(*)の解空間とする。

D:V→V を微分作用素とする。

J を D のジョルダン標準形とする。

(x)を f の固有多項式とする。

いま、F(x)=F(x)である。(※P2)

よって、D の固有値はλのみである。

V(λ)をλに対する固有空間とする。

このとき、V(λ)は eλt を基底とする1次元空間である。

よって、J は1つのジョルダン細胞である。

すなわち、J=J(λ、n)である。

よって、D−λI は指数 n のべき零変換である。

z∈V とおく。

次のようにおく。

=(D−λI)n−1z、・・・、zn−1=(D−λI)z、z=z

このとき、{ z、・・・、z } は V の基底である。(※ジョルダン標準形)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、(D−λI)z=(D−λI)z=0 である。

よって、D(z)=λz である。

よって、z’=λz である。

よって、z は eλt のスカラー倍である。(※P1)

ここでは、z=eλt として議論を進める。

( スカラー倍の部分を省いてよい理由は後で説明する )

一方、(D−λI)z=z、・・・、(D−λI)z=zn−1 である。(★1)

このとき、(★1)の解は次のようになる。(詳しい計算過程は省略する)



実際、



( 先ほど、スカラー倍を省いていたが、その部分はこの係数の中に含まれる )

そこで、{ eλt、teλt、・・・、tn−1λt } を V の基底として採用する。

よって、V の任意の元は eλt、teλt、・・・、tn−1λt の1次結合として表される。

よって、V の任意の元は P(t)eλt の形で表される。