ベクトル空間の準同型定理

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S8 ( 単射 ⇔ Kerf={0} )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

f:V→W を線形写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は単射である。

(2) Kerf={0

証明

(1)を仮定する。

よく知られているように、f(0)=0 である。

つまり、0∈Kerf である。

v∈V とおく。

v≠0 とする。

f は単射であるから、f(v)≠f(0)である。

よって、f(v)≠0 である。

よって、v は Kerf に属さない。

よって、Kerf={0}である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

f(v)=f(w)とおく。

いま、f(v−w)=f(v)−f(w)=0 である。(※定義:線形写像)

仮定より、v−w=0 である。

よって、v=w である。

以上により、f(v)=f(w) ⇒ v=w である。

つまり、f は単射である。

S9 ( 商空間の次元 )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

W を V の部分空間とする。

このとき、dim(V/W)=dimV−dimW である。

証明

W={0} の場合について考える。

いま、V/W と V は同型である。

よって、dim(V/W)=dimV−0=dimV−dimW である。

つまり、定理が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

W=V の場合について考える。

いま、V/W={0V/W} である。

よって、dim(V/W)=0=dimV−dimV=dimV−dimW である。

つまり、定理が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

W≠{0} かつ W≠V である場合について考える。

dimV=n とし、dimW=r とする。

E={ w、・・・、w } を W の基底とする。

F={ w、・・・、w、v、・・・、vn−r } を V の基底とする。

つまり、F は E を含んでいる。(※このように基底を取れることは線形代数でよく知られている)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[v]+・・・+an−r[vn−r]=0V/W とおく。

つまり、[a+・・・+an−rn−r]=[0] である。

よって、a+・・・+an−rn−r∈W である。(※S7)

よって、a+・・・+an−rn−r=b+・・・+b と表せる。

変形すると、b+・・・+b+(−a)v+・・・+(−an−r)vn−r=0 である。

いま、{ w、・・・、w、v、・・・、vn−r } は V の基底である。

よって、b=0、・・・、b=0、a=0、・・・、an−r=0 である。

以上により、a[v]+・・・+an−r[vn−r]=0V/W ⇒ a=0、・・・、an−r=0 である。

つまり、[v]、・・・、[vn−r] は1次独立である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[v]∈V/W とおく。

いま、v=a+・・・+a+b+・・・+bn−rn−r と表せる。

変形すると、v−(b+・・・+bn−rn−r)=a+・・・+a∈W である。

つまり、[v]=[b+・・・+bn−rn−r]である。

つまり、[v]=b[v]+・・・+bn−r[vn−r]である。

以上により、任意の [v]∈V/W は [v]=b[v]+・・・+bn−r[vn−r] と表せる。

つまり、[v]、・・・、[vn−r] は V/W を生成する。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、{[v]、・・・、[vn−r]} は V/W の基底である。

よって、dimV/W=n−r=dimV−dimW である。

S10 ( ベクトル空間の準同型定理 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

f:V→W を線形写像とする。

このとき、V/Kerf と Imf は同型である。

証明

φ:V/Kerf→Imf をφ([v])=f(v)で定義する。

まず、φが well-defined であることを確認する。

v、w∈V とおく。

[v]=[w]であるとする。

いま、v−w∈Kerf である。

よって、f(v)−f(w)=f(v−w)=0 である。

つまり、f(v)=f(w)である。

以上により、[v]=[w] ⇒ f(v)=f(w) である。

よって、φは well-defined である。(※S1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[v]、[w]∈V/Kerf とおく。

いま、φ([v]+[w])=φ([v+w])=f(v+w)=f(v)+f(w)=φ([v])+φ([w])である。

また、φ(k[v])=φ([kv])=f(kv)=kf(v)=kφ([v])である。

よって、φは線形写像である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[v]∈V/Kerf とおく。

φ([v])=0 であるとする。

いま、f(v)=0 である。

つまり、v∈Kerf である。

よって、[v] は V/Kerf の零ベクトルである。(※S7)

以上により、φ([v])=0 ⇒ [v]=0V/W である。

よって、φは単射である。(※S8)(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

w∈Imf とおく。

いま、ある v∈V が存在して w=f(v) となる。

つまり、φ([v])=f(v)=w である。

以上により、任意の w∈Imf に対し、ある [v]∈V/Kerf が存在して、φ([v])=w となる。

つまり、φは全射である。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)〜(★3)より、φは同型写像である。

つまり、V/Kerf と Imf は同型である。

S11 ( 次元定理 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

f:V→W を線形写像とする。

V は有限次元であるとする。

このとき、dimKerf+dimImf=dimV である。

補足

この定理は線形代数で非常に有名である。

線形代数インデックスでは、この定理を直接的に示した。

一方、今回は、次元定理が準同型定理に含まれていることを示す。

証明

いま、dim(V/Kerf)=dimV−dimKerf である。(※S9)

よって、dimImf=dimV−dimKerf である。(※S10)