部分環

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定義 ( 部分環 )

R を環とし、S を R の空でない部分集合とする。

R の和と積に対し、S は環であるとする。

このとき、S を 『 R の部分環 』 という。

定義 ( 部分体 )

F を体とし、K を F の空でない部分集合とする。

F の和と積に対し、K は体であるとする。

このとき、K を 『 F の部分体 』 という。

例えば、 の部分環である。

また、 の部分体である。

注意 ( 自明な部分環 )

R を環とする。

R と {0} を 『 R の自明な部分環 』 という。

B5

R を環とし、S を R の部分環とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) R を可換環とすると、S も可換環である。

(2) R が単位元をもつ環であっても、S が単位元をもつ環であるとは限らない。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

成り立たないことを示すには、何か1つ反例を挙げればよい。

R= とおき、S=2 とおく。

は環であるが、積に関する単位元をもたない。

B6 ( 単位元は部分環に遺伝するとは限らないが、部分体には遺伝する )

R を環とし、S を R の部分環とする。

F を体とし、K を F の部分体とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) R と S が単位元をもつ環であっても、1 と 1 が一致するとは限らない。

(2) 1 と 1 は一致する。

(1)の証明

成り立たないことを示すには、何か1つ反例を挙げればよい。

例えば、環 R=M(2、)の部分環 S を次のように定義する。



いま、

(2)の証明

K は体であるから、0 でない元 x をもつ。(※定義:体)

いま、x1=x である。

また、F における x の逆元 x−1 が存在する。(※定義:体)

よって、上式の両辺に左から x−1 をかけると、1=1 である。

よって、1=1 である。

B7

R を環とし、S を R の空でない部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) S は R の部分環である。( 単位元1はもたなくてよい )

(2) a、b∈S ⇒ a+b、−a、ab∈S

(3) a、b∈S ⇒ −a+b、ab∈S

証明

明らかである。(※A5)

B8

F を体とし、K を F の空でない部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) K は F の部分体である。

(2) B7(2)と 「 a∈K、a≠0 ⇒ a−1∈K 」 が成り立つ。

(3) 「 a、b∈K ⇒ −a+b∈K 」 かつ 「 a、b∈K、a≠0 ⇒ a−1b∈K 」

証明

明らかである。

B9

R を環とし、S、S をその部分環とする。

F を体とし、K、K をその部分体とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) S∩S は R の部分環である。

(2) K∩K は F の部分体である。

(1)の証明

a、b∈S∩S とおく。

いま、−a+b、ab∈S かつ −a+b、ab∈S である。(※B7)

よって、−a+b、ab∈S∩S である。

よって、S∩S は R の部分環である。(※B7)

(2)の証明

(1)と同様である。