剰余類

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定義

G を群とする。

S、T を G の部分集合とする。

a、b∈G とおく。

次のように定義する。

(*1) ST={ st|s∈S、t∈T }

(*2) S−1={ s−1|s∈S }

(*3) aS={ ax|x∈S }

(*4) Sb={ xb|x∈S }

(*5) aSb={ axb|x∈S }

定義 ( 左合同 )

H を群 G の部分群とする。

x、y∈G に対し、x−1y∈H であるとする。

このとき、「 x と y は H を法として左合同である 」 という。

定義 ( 右合同 )

H を群 G の部分群とする。

x、y∈G に対し、xy−1∈H であるとする。

このとき、「 x と y は H を法として右合同である 」 という。

A6

H を群 G の部分群とする。

このとき、H を法とした左合同は同値関係である。

補足

右合同についても同様である。

証明

a と b が左合同であることを a〜b と表す。

つまり、〜 が同値関係であることを示せばよい。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈G とおく。

いま、x−1x=e∈H である。

よって、x〜x である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x〜y と仮定する。

いま、x−1y∈H である。

よって、ある h∈H が存在して、x−1y=h となる。

両辺に左から x をかけ、右から h−1 をかけ、左から y−1 をかけると、y−1x=h−1∈H である。

よって、y〜x である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x〜y かつ y〜z と仮定する。

いま、x−1y、y−1z∈H である。

また、x−1z=(x−1y)(y−1z)∈H である。

よって、x〜z である。

定義 ( 左剰余類、右剰余類 )

H を群 G の部分群とする。

H を法とする左合同関係による同値類を 『 G の H による左剰余類 』 という。

H を法とする右合同関係による同値類を 『 G の H による右剰余類 』 という。

A7

H を群 G の部分群とする。

(1) a が属する左剰余類は aH の形で表される。

(2) a が属する右剰余類は Ha の形で表される。

(1)の証明

[a] を、a が属する左剰余類とする。

次は同値である。

(*1) x∈[a]

(*2) a−1x∈H

(*3) ある h∈H が存在して、a−1x=h となる。

(*4) ある h∈H が存在して、x=ah となる。

(*5) x∈aH

(2)の証明

上と同様である。

A8

H を群 G の部分群とする。

このとき、x、y∈G に対して、次は同値である。

(*1) x−1y∈H

(*2) y∈xH

(*3) x∈yH

(*4) xH∩yH≠φ

(*5) xH=yH

また、次は同値である。

(**1) xy−1∈H

(**2) y∈Hx

(**3) x∈Hy

(**4) Hx∩Hy≠φ

(**5) Hx=Hy

証明

明らかに、(*1)〜(*5)はいずれも x と y が同じ左剰余類に属していることを意味する。

(**1)〜(**5)の同値性も同様である。

A9

H を群 G の部分群とする。

このとき、次は同値である。

(1) x∈H

(2) xH=H

(3) Hx=H

証明

A8 において y=e とおけばよい。

A10

H を群 G の部分群とする。

x、y、z∈G とおく。

このとき、次は同値である。

(1) x と y は H を法として左合同である。

(2) zx と zy は H を法として左合同である。

証明

a と b が左合同であることを a〜b と表す。

次は同値である。

(*1) x〜y

(*2) x−1y∈H

(*3) (zx)−1(zy)=(x−1−1)(zy)=x−1y∈H

(*4) zx〜zy

定義 ( G/H )

H を群 G の部分群とする。

G の H による左剰余類全体を G/H と表す。

G の H による右剰余類全体を G\H と表す。

つまり、G/H は左合同関係の商集合である。

定義 ( 群の位数 )

群 G に属する元の個数を 『 G の位数 』 といい、|G|と表す。

位数が有限な群を 『 有限群 』 といい、有限でない群を 『 無限群 』 という。

A11

H を群 G の部分群とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) |G/H|=|G\H|

(2) 任意の a∈G に対し、|aH|=|Ha|=|H|である。

(1)の証明

π:G→G/H をπ(x)=xH で定義する。

f:G→G\H を f(x)=Hx−1 で定義する。

明らかに、πと f は全射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

π(x)=π(y)とする。

いま、xH=yH である。

よって、y∈xH である。(※A8)

よって、ある h∈H が存在して、y=xh となる。

よって、x−1=hy−1 となる。

よって、x−1∈Hy−1 である。

よって、Hx−1=Hy−1 である。(※A8)

よって、f(x)=f(y)である。

以上により、π(x)=π(y) ⇒ f(x)=f(y) である。

よって、φ:G/H→G\H をφ(xH)=Hx−1 で定義できる。(※S1:well-defined)

つまり、f=φ*πである。

また、明らかに、φは全単射である。

よって、|G/H|=|G\H|である。

(2)の証明

a∈G とおく。

φ:H→aH を φ(x)=ax で定義する。

φ(x)=φ(x)とおく。

いま、ax=ax である。

よって、x=x である。

つまり、φは単射である。

また、明らかに、φは全射である。

よって、φは全単射である。

よって、|H|=|aH|である。

同様に、|H|=|Ha|である。

定義 ( 指数 )

H を群 G の部分群とする。

このとき、|G/H|を 『 H の指数 』 といい、(G:H)と表す。

A12 ( ラグランジュの定理 )

G を有限群とする。

H を 群 G の部分群とする。

このとき、|G|=(G:H)|H|である。

証明

明らかである。(※A11)