代数的閉体

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定義 ( 代数的閉体 )

Ωを体とする。

任意の f(X)∈Ω[X] ( ただし、degf(X)≧1 ) が、つねにΩ内に根をもつとする。

このとき、Ω を 『 代数的閉体 』 という。

C11 ( 既約分解 )

Kを体とする。

f(X)∈K[X] は定数でないとする。

このとき、f(X)は既約多項式の積として表せる。

( f(X)自身が1つの既約多項式である場合も含む。つまり、0個の積として考える )

証明

K[X]において既約な多項式の積で表されない多項式が存在するとする。(背理法)

そのような多項式で、次数が最小であるものを p(X)とする。

いま、p(X)は既約ではない。

よって、ある q(X)、q(X)∈K[X] が存在して、次が成り立つ。

(*) p(X)=q(X)q(X)、degq<degp、degq<degp

いま、q(X)、q(X)は既約多項式の積として表せる。(※p(X)の最小性)

よって、p(X)は既約多項式の積として表される。

これは矛盾である。

C12 ( 体から拡大を構成できる )

F を体とする。

p(X)∈F[X] は F上で既約であるとする。

E=F[X]/(p(X))とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) E/F は拡大である。

(2) あるα∈E が存在して、p(α)=0 となる。

(1)の証明

いま、p(X)∈F[X]は既約である。

よって、F[X]/(p(X))は体である。(※A39)

つまり、E は体である。

φ:F[X]→E を自然な準同型写像とする。

いま、F⊂F[X]である。

そこで、φを F に制限してφ| を考える。

つまり、φ|:F→E である。

明らかに、φ| は単射準同型写像である。(※定義:剰余環)

そこで、φ| の像と F を同一視する。

( つまり、F を E の部分環とみなすことができる )

いま、E は体である。

よって、F は E の部分体である。

よって、E/F は拡大である。

(2)の証明

g(X)=c+cX+・・・+c∈F[X] とおく。

g(X)によって定められる E の元を g(X) と表す。

つまり、g(X)=g(X)+(p(X))である。

いま、明らかに、次の(*1)、(*2)は同値である。

(*1) g(X)=0

(*2) p(X) は g(X) を割り切る。

とくに、g(X)=p(X)の場合を考えれば、p(X) =0 である。(★)

ここで、α= とおく。

いま、



よって、p(α)=0 である。

C13 ( 代数的閉体に対する同値条件 )

Ωを体とする。

このとき、次は同値である。

(1) Ωは代数的閉体である。

(2) f(X)∈Ω[X] がΩ上で既約ならば degf(X)=1 である。

(3) 任意の f(X)∈Ω[X] ( ただし f(X)≠0 ) はΩ[X]の1次式に分解する。

(4) Ωの代数的拡大はΩのみである。

補足

(3)は f(X)=c(X−c)・・・(X−c) ( c∈Ω ) の形に表されることを意味する。

(1)⇒(2)の証明

(1)を仮定する。

f(X)はΩ上で既約であるとする。

いま、あるα∈Ωが存在して、f(α)=0 となる。

また、f(X)は X−αで割り切れる。

いま、f(X)は既約である。

よって、f(X)は X−αの定数倍である。

よって、degf(X)=1 である。

(2)⇒(3)の証明

明らかである。(※C11)

(3)⇒(4)の証明

L/Ωを代数的拡大とする。

α∈L とおく。

p(X)をαのΩ上の最小多項式とする。

いま、p(X)は既約である。(※C1)

よって、仮定(3)より、p(X)自身は1次式である。

よって、p(X)=X−αである。

いま、p(X)∈Ω[X] である。

よって、α∈Ωである。

以上により、L⊂Ωである。

よって、L=Ωである。

(4)⇒(1)の証明

Ωの拡大 L が存在する。(※C12)

よって、Ωの代数的拡大 K が存在する。(※C8)

仮定(4)より、Ω=K である。

以上により、Ωは代数的閉体である。

参考 ( 代数学の基本定理 )

は代数的閉体である。

このことは 『 代数学の基本定理 』 として知られている。

つまり、任意の f(X)∈[X] は 上で1次式の積に分解する。(※C13)

定義 ( 代数的閉包 )

Ω/F を代数的拡大とする。

Ωは代数的閉体であるとする。

このとき、Ωを 『 F の代数的閉包 』 という。

C14 ( 代数的閉体の中に代数的閉包を構成できる )

Ω/F を拡大とする。

Ωは代数的閉体であるとする。

Ω={ α∈Ω|αは F 上で代数的 } とおく。

このとき、Ω は F の代数的閉包である。

証明

Ω/F は代数的拡大である。(※C8)(★)

f(X)∈Ω[X] とおく。

degf(X)≧1 とする。

このとき、f(X)∈Ω[X] である。

よって、あるα∈Ωが存在して、f(α)=0 となる。

よって、αはΩ上で代数的である。

よって、(★)より、αは F 上で代数的である。(※C9(3))

よって、α∈Ω である。

以上により、Ω は F の代数的閉包である。

参考

任意の体に対して代数的閉包が存在することが知られている。

しかし、この証明はやや面倒であるから省略する。

代数学の書物でも省略されていることが多い。

これについてはとりあえず結果だけ把握しておけば十分である。