代数的拡大

サイトのTOP→理系インデックス
続・環論のTOP→続・環論インデックス





定義 ( 代数的拡大 )

E/F を拡大とする。

任意の α∈E が F 上で代数的であるとする。

このとき、E を 『 F の代数的拡大 』 という。

C6

有限次拡大は代数的拡大である。

証明

E/F を有限次拡大とする。

[E:F]=n とする。

α∈E とおく。

いま、1、α、α、・・・、α は F 上で1次従属である。

よって、ある c、・・・、c∈F が存在して、0≦i≦nα=0 となる。

しかも、c、・・・、c のうち少なくとも1つは 0 でないようにできる。

ここで、f(X)=0≦i≦n とおく。

いま、f(X)∈F[X] であり、f(X)≠0 であり、f(α)=0 である。

つまり、α は F 上で代数的である。

参考

次が成り立つ。

(1) / は代数的拡大である。

(2) / は代数的拡大ではない。

(1)の証明

]=2 であるから、/ は有限次拡大である。

よって、/ は代数的拡大である。(※C6)

一方、直接的に次のように示すこともできる。

α∈ とおく。

いま、α+α と αα は実数である。

f(X)=X−(α+α)X+αα とおく。

いま、f(X)∈[X] である。

しかも、f(α)=0 である。

よって、α は 上で代数的である。

よって、/ は代数的拡大である。

(2)の証明

よく知られているように、π∈ は超越的である。

よって、/ は代数的拡大ではない。

C7

F(θ)を F の単純拡大とする。

θは F 上で代数的であるとする。

θの次数を n とする。

このとき、F(θ)/F は代数的拡大である。

証明

いま、[F(θ):F]=n<∞ である。(※C5)

よって、F(θ)/F は代数的拡大である。(※C6)

C8 ( 拡大の中に代数的拡大を構成できる )

E/F を拡大とする。

={ α∈E|αは F 上で代数的 } とおく。

このとき、E は F の代数的拡大である。

証明

α、α∈E とおく。

明らかに、F(α、α)=(F(α))(α)である。

つまり、F(α、α)は F(α)の単純拡大である。

よって、[F(α、α):F]=[F(α、α):F(α)][F(α):F]<∞ である。(※C2)

よって、F(α、α)は代数的拡大である。(※C6)

明らかに、α±α、αα、α−1 (α≠0)は F(α、α)に含まれる。

よって、α±α、αα、α−1 (α≠0)は F 上で代数的である。

よって、α±α、αα、α−1 (α≠0)は E に含まれる。

以上により、E は体である。

つまり、E は F の代数的拡大である。

C9

E/K、K/F を拡大とする。

このとき、次は同値である。

(1) E/F は代数的拡大である。

(2) E/K と K/F は代数的拡大である。

とくに、次が成り立つ。

(3) θ∈E が K 上で代数的で、K/F が代数的拡大ならば、θは F 上で代数的である。

(1)⇔(2)の証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

θ∈E とおく。

仮定より、θは K 上で代数的である。

そこで、θの K 上の最小多項式を p(X)=X+αn−1n−1+・・・+α (α∈K)とおく。

仮定より、α は F 上で代数的である。(★1)

また、θ は F(α、・・・、αn−1)上で代数的である。(★2)

( 実際、p(X)にθを代入すると p(θ)=0 である )

(★1)より、[F(α、・・・、α):F(α、・・・、αi−1)]<∞ である。(※C5)

(★2)より、[F(θ、α、・・・、α):F(α、・・・、α)]<∞ である。(※C5)

また、



いま、右辺は有限である。

よって、θは F 上で代数的である。(※C6)

(3)の証明

既に、(2)⇒(1)で示した。

C10

E/F を有限次拡大とする。

このとき、ある α、・・・、α∈E が存在して、E=F(α、・・・、α)となる。

証明

α∈E−F とおく。

いま、[E:F]=[E:F(α)][F(α):F] である。(※C2)

明らかに、[F(α):F]>1 である。

よって、[E:F(α)]<[E:F]である。

同様の操作を α∈E−F(α)に対して行う。

すると、[E:F(α、α)]<[E:F(α)]<[E:F]である。

いま、[E:F]<∞ であるから、上記の操作を帰納的に繰り返せば、

ある自然数 n が存在して、[E:F(α、・・・、α)]=1 となる。

ょって、E=F(α、・・・、α)である。(※C3)