群の表現

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注意 ( 可逆 )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

V 上の線形変換全体を L(V) と表す。

S∈L(V)とおく。

ある T∈L(V) が存在して、ST=TS=I ( I は恒等変換 ) となるとする。

このとき、「 S は可逆(正則)である 」 という。

また、T を S−1 と表す。

注意 ( GL(V) )

V を K 上の有限次元ベクトル空間とする。

GL(V)={ S∈L(V) : S は正則である } と定義する。

明らかに、GL(V)は群である。

定義 ( 表現 )

G から GL(V) への(群の)準同型写像を 『 G の V による表現 』 という。

とくに、V が K 上のベクトル空間であることを強調したい場合は 『 K上の表現 』 という。

定義 ( 関数空間 )

F を X 上の K 値関数全体とする。

、f∈F に対し、次のように演算を定義する。

(*1) (f+f)(x)=f(x)+f(x)

(*2) (kf)(x)=kf(x) ( k∈K )

このとき、F を 『 関数空間 』 という。

つまり、関数空間とは関数からなるベクトル空間である。

定義 ( G 不変〜その1 )

φ:G→GL(V) を K 上の表現とする。

W を V の部分空間とする。

任意の g∈G に対し、φ(g)W⊂W であるとする。

このとき、「 W は G 不変である 」 という。

S17

φ:G→GL(V)を表現とする。

W を G 不変部分空間とする。

このとき、任意の g∈G に対し、φ(g)W=W である。

補足

つまり、W が G 不変ならば、φ(g)| は G の W による表現となる。

証明

g∈G とおく。

いま、φ(g−1)W⊂W である。

よって、φ(g)φ(g−1)W⊂φ(g)W である。

一方、φ(g)φ(g−1)W=φ(gg−1)W=W である。(※表現は準同型写像)

よって、W⊂φ(g)W である。

よって、φ(g)W=W である。

S18

φ:G→GL(V) を K 上の表現とする。

W を G 不変部分空間とする。

ψ:G→GL(V/W) を ψ(g)(v+W)=φ(g)v+W で定義する。

このとき、ψは G の表現である。

証明

ψが well-defined であることを確認する。

u を、v+W の代表元とする。

いま、u=v+w ( w∈W ) と表せる。

よって、φ(g)u=φ(g)v+φ(g)w である。

いま、φ(g)w∈W である。

よって、φ(g)u+W=φ(g)v+W である。

つまり、ψは well-defined である。