群の定義

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定義 ( 演算 )

S を集合とする。

φ:S×S→S を写像とする。

このとき、φ を 『 S における演算 』 という。

φ(a、b)を ab と表す。

最初、ab という表記を見れば多くの人は数の乗法を思い浮かべるであろう。

しかし、ここでの ab は通常の乗法を意味するとは限らない。

何か特定の演算について話しているわけではない。

定義 ( 群 )

G を空でない集合とする。

G における演算が定義されていて、次の3つの条件を満たすとする。

(G1) 任意の a、b、c∈G に対し、a(bc)=(ab)c である。

(G2) ある e∈G が存在して、任意の a∈G に対し、ae=ea=a である。

(G3) 任意の a∈G に対し、ある x∈G が存在して、ax=xa=e となる。

条件(G1)を 『 結合則 』 という。

条件(G2)において、e を 『 単位元 』 という。

条件(G3)において、x を 『 a の逆元 』 といい、x=a−1 と表す。

集合 G が以上の条件を満たすとき、「 G はこの演算に関して群である 」 という。

むろん、a、b∈G ならば ab∈G である。

なぜなら G の演算は G×G から G への写像だからである。

a、b∈G ⇒ ab∈G となることを 「 G はこの演算に関して閉じている 」 という。

定義 ( アーベル群 )

G を群とする。

a、b∈G が ab=ba を満たすとき、「 a と b は可換である 」 という。

任意の a、b∈G が可換であるとき、G を 『 アーベル群 』 という。

アーベル群を 『 可換群 』 と呼ぶことも多い。

とくに、アーベル群の積 ab を a+b と表すとき、これを 『 加群 』 または 『 加法群 』 という。

参考

次が成り立つ。

(1)  は加法に関して群である。

(2) −{0} は乗法に関して群である。

補足

一方、 は通常の乗法に関して群にはならない。

(1)の証明

G1 : (a+b)+c=a+(b+c)であるから、結合則が成り立つ。

G2 : a+0=0+a=a であるから、単位元は e=0 である。

G3 : a+(−a)=(−a)+a=0 であるから、a の逆元は a−1=−a である。

(2)の証明

G1 : (ab)c=a(bc)であるから、結合則が成り立つ。

G2 : a・1=1・a=a であるから、単位元は e=1 である。

G3 : a・(1/a)=(1/a)・a=1 であるから、a の逆元は a−1=1/a である。

注意

群について、積が乗法的に書かれている場合、これを 『 乗法群 』 という。

一方、積が加法的に書かれている場合、これを 『 加法群 』 という。

乗法群の場合、単位元を e または 1 で表す。

加法群の場合、単位元を 0 で表す。

通常、単に 「 群 」 と呼ぶ場合には、乗法群を意味する場合が多い。

初学の段階では、このような違いは煩わしいと感じるかもしれない。

しかし、環・体などの概念までを理解したとき、これらの表記は必然であることを理解するであろう。

A2

G を群とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) G の単位元は一意である。

(2) 任意の a∈G に対し、その逆元は一意に存在する。

(1)の証明

G において2つの単位元 e、e’が存在すると仮定する。

いま、任意の a、b∈G に対し、ae=ea=a かつ be’=e’b=b である。

a、b は任意であるから、a=e’、b=e としてよい。

よって、e=ee’=e’である。

(2)の証明

a∈G とおく。

a に対し、2つの逆元 x、x’が存在すると仮定する。

いま、ax=xa=e かつ ax’=x’a=e である。

よって、ax=ax’である。

両辺に左から a−1 をかけると、a−1ax=a−1ax’である。

よって、ex=ex’である。

よって、x=x’である。

A3

G を群とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 任意の a、b∈G に対し、(ab)−1=b−1−1 である。

(2) 任意の a、・・・、a∈G に対し、(a・・・a−1=a−1・・・a−1 である。

(3) 任意の a∈G に対し、(a−1−1=a である。

(1)の証明

a、b∈G とおく。

いま、(b−1−1)ab=b−1(a−1a)b=b−1eb=b−1b=e である。

同様に、ab(b−1−1)=e である。

以上により、(b−1−1)ab=ab(b−1−1)=e である。

これは b−1−1 が ab の逆元であることを意味する。

つまり、(ab)−1=b−1−1 である。

(2)の証明

(1)を帰納的に繰り返し用いればよい。

(2)の証明

a∈G とおく。

いま、a−1a=aa−1=e である。

これは見方を変えれば、a−1 の逆元が a であることを意味する。

つまり、(a−1−1=a である。