表現の具体例(2面体群)

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S31

G を有限群とする。

を G の双対とする。

このとき、|G|=[φ]∈G(dimφ) である。

証明

省略する。

ここでは定理を使用することを優先する。

S32

G を有限群とする。

を G の双対とする。

このとき、|G|=「 G の共役類の個数 」 である。

証明

省略する。

ここでは定理を使用することを優先する。

注意

を2面体群とする。

つまり、D の元は次の形で表される。

(*) 1、σ、σ、・・・、σn−1、τ、στ、・・・、σn−1τ

次のように定義する。

(*1)は正 n 角形の反時計回りの (2π/n)k 回転を意味する。

(*2)は y 軸に関する反転を意味する。

S33

(1) φ は2面体群 D の表現である。

(2) φ と φn−k は同値である。それ以外は同値でない。

(3) n が偶数ならば、k=n/2 に対して φ は可約である。

(1)の証明

いま、σとτは D を生成する。

また、明らかに、次が成り立つ。

(*1) φ(σ)=I ( I は2×2単位行列 )

(*2) φ(τ)=I

(*3) φ(τ)φ(σ)φ(τ)=φ(σ)−1

よって、成り立つ。

(2)の証明

S=diag(−1、1) とおく。

いま、Sφ(g)=φn−k(g)S ( g=σ、τ ) である。

一方、σとτは D を生成する。

よって、上式は任意の g∈D に対して成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上記以外に同値関係が存在しないことを示す。

r+s≠n とする。

ある 2×2 行列 S が存在して、Sφ(g)=φ(g)S ( g=σ、τ ) となるとする。

まず、g=τとすると、S=diag(s、s)である。

また、g=σとすると、次が成り立つ。( ただし θ=2π/n である)

(*1) scos(rθ)=cos(sθ)s ( k=1、2 )

(*2) ssin(rθ)=sin(sθ)s

(*3) ssin(rθ)=sin(sθ)s

いま、r+s≠n であるから、r≠s である。

よって、cos(rθ)≠cos(sθ)である。

よって、s=s=0 である。

以上により、s=0 である。

つまり、φ と φ は同値でない。

(3)の証明

いま、φ(σ)=diag(−1、−1)である。

また、φ(τ)=diag(−1、1)である。