具体例(置換表現、表現)

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S20

(1) G(T) と A は同型である。

(2) G(T) と S は同型である。

(3) G(T12) と A は同型である。

補足

や S の構造について詳しいことは続・群論インデックスで議論している。

つまり、それらの結論は G(T) などにも適用できる。

(1)の証明

g∈G(T)とおく。

X={ P、・・・、P } を正4面体の頂点全体とする。

いま、G(T)は X に作用する。

ρ:G(T)→S を置換表現とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

g∈G(T)を、P を固定する元とする。

ただし、g は単位元ではないとする。

いま、g は 2、3、4 の巡回置換を引き起こす。

g が巡回置換(234)を引き起こす場合について考える。

いま、g は巡回置換(243)を引き起こす。( 実際、(234)(234)=(243)である )

よって、<(234)>⊂ρ(G(T))である。

g が巡回置換(243)を引き起こす場合も同様である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

同様に、P、P、P を固定する場合についても議論できる。

よって、ρ(G(T))は長さ 3 の巡回置換をすべて含む。

よって、A⊂ρ(G(T))である。(※S7)

よって、12≦|ρ(G(T))|である。(※S6)

一方、|ρ(G(T))|=|G(T) |/|kerρ|≦12 である。(※S12)

よって、Kerρ={1}である。

よって、ρは単射である。

よって、ρ(G(T))=A である。

(2)の証明

省略する。

(3)の証明

省略する。

S21

ρ:G(T)→S を置換表現とする。

このとき、Imρを具体的に書き下すと、

(234)、(243)

(134)、(143)

(124)、(142)

(123)、(132)

(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)、e

補足

既に Imρ=A が示されている。

つまり、この定理は A の元を書き並べただけである。

しかし、ここでは直接的に示す。

証明

頂点 P と T の中心を結ぶ軸に関する回転を考える。

2π/3 回転は σ=(234) を意味する。

4π/3 回転は σ=(243) を意味する。

同様に、頂点 P に対して (134) と (143) がある。

同様に、頂点 P に対して (124) と (142) がある。

同様に、頂点 P に対して (123) と (132) がある。

これらはすべて偶置換である。

よって、A に属する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

辺 P の中点と T の中心を結ぶ軸に関する回転を考える。

( むろん、この軸は辺 P の中点を通る )

π回転は(12)(34)を意味する。

同様に、辺 P の中点とT の中心を結ぶ軸に関数π回転は(13)(24)である。

同様に、辺 P の中点とT の中心を結ぶ軸に関数π回転は(14)(23)である。

これらはすべて偶置換である。

よって、A に属する。

S22

を、辺 P の中点と T の中心を結ぶ軸とする。

を、辺 P の中点と T の中心を結ぶ軸とする。

を、辺 P の中点と T の中心を結ぶ軸とする。

ただし、軸に向きは付けない。

Y={ 1、2、3 } とおく。

いま、G(T)は Y 上の置換を誘導する。

そこで、ψ:G(T)→S を置換表現とする。

( むろん、{ 1、2、3 } は {1、2、3} と見なす )

φ:G(T)→A を同型写像とする。(※S20)

このとき、次が成り立つ。

(1) Imψ=A={ e、(123)、(132)}

(2) Ker(ψ*φ−1)={ (12)(34)、(13)(24)、(14)(23)、e }

(3) A/Ker(ψ*φ−1) と A は同型である。

(1)の証明

X={ P、・・・、P } を T の頂点全体とする。

g∈G(T)を、頂点 P と T の中心を結ぶ軸に関する 2π/3 回転とする。

いま、ψ(g)=(123)∈A である。

また、ψ(g)=(123)=(132)である。

他の頂点についても同様である。

(2)の証明

を、軸 1 に対するπ回転とする。

明らかに、g は Y 上の恒等変換である。

( 軸 2 と 3 の向きは変化するが、いまは向きを考慮していないので不変と考える )

よって、g∈Kerψである。

同様に、g、g∈Kerψである。

以上により、Kerψ={ g、g、g、e } である。

よって、φ(Kerψ)={ (12)(34)、(13)(24)、(14)(23)、e } である。

(3)の証明

明らかである。(※準同型定理)

S23

を、辺 P の中点と T の中心を結ぶ軸とする。

を、辺 P の中点と T の中心を結ぶ軸とする。

を、辺 P の中点と T の中心を結ぶ軸とする。

ただし、1、2、3 には下図のように向きを付ける。



V を { 1、2、3 } を基底とするベクトル空間とする。

いま、G(T) は V 上の線形変換を誘導する。

そこで、ρ:G(T)→GL(V)を定義する。(★)

このとき、ρは G の表現である。

(★)について補足

g∈G(T)を、軸 1 に関するπ回転とする。

いま、ρ(g)(1)=1、ρ(g)(2)=−2、ρ(g)(3)=−3 である。

つまり、ρ(g) は基底を変換している。

これだけで V 上の変換が決まる。

実際、任意の v∈V は v=v+v+v の形で表せる。

よって、ρ(g)(v)=v−v−v である。

証明

明らかに、次が成り立つ。

(*1) ρ(1)=1

(*2) 任意の g、h∈G に対し、ρ(gh)=ρ(g)ρ(h)である。

よって、ρは G の表現である。

定義 ( 行列表現 )

V を K 上の n 次元ベクトル空間とする。

ρ:G→GL(V)を K 上の表現とする。

E を V の基底とする。

ρ:G→GL(n) を ρ(g)=「 ρ(g)の E に関する表現行列 」 で定義する。

このとき、ρ を 『 ρの ( E に関する ) 行列表現 』 という。

S24

ρ:G(T)→GL(V)を 『 S23 』 の意味での表現とする。

ρ:G(T)→GL(n)をρの行列表現とする。

G(T) と A と同一視して、ρ:A→GL(n)と見なす。

次のように定めておく。

(*1) σ=(12)(34)、σ=(13)(24)、σ=(14)(23)

(*2) τ=(234)、τ=(143)、τ=(124)、τ=(132)

このとき、

補足

また、その他の値は上記の値から簡単に計算できる。

つまり、上記の5つの値のみで ρ は決定される。

このことを確認しよう。

まず、A は次の(*)から生成される。

(*) (12)(34)、(13)(24)、(14)(23)、(234)、(243)

実際、最初の3つの軸 1、2、3 に関する回転を意味する。

明らかに、これらの元は G(T) を生成する。

よって、G(T) と同型な A は(*)によって生成される。

実際に計算してみよう。

いま、τk+1=στσ (1≦k≦3) である。

よって、

証明

g∈G(T)を軸 1 に関する回転とする。

いま、次が成り立つ。(※表現行列の定義)

(*) (ρ(g)(1)、ρ(g)(2)、ρ(g)(3))=(1、−2、−3)=(1、2、3)ρ(g)

よって、



他も同様である。

参考

3次実行列全体を M(3、) と表す。

M(3、) は自然にベクトル空間と見なせる。

W={ A∈M(3、)|Tr(A)=0 } とする。

明らかに、W は M(3、) の部分空間である。

このとき、dimW=8 である。

証明

次のようにおく。



A=(aij)∈W とおく。

いま、TrA=a11+a22+a33=0 である。

よって、



つまり、W は { B、・・・、B } によって生成される。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

+c+c+c+c+c+c+c=O とおく。

いま、上式の左辺は次のように表せる。



よって、c=0、・・・、c=0 である。

つまり、 { B、・・・、B } は1次独立である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、 { B、・・・、B } は W の基底である。

よって、dimW=8 である。