表現の具体例(交代群)

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S34 ( 交代群 A の既約表現 )

4次交代群 A の既約数表現は、



( ただし、τ=(234)、ω=(−1/2)+(√3/2)i である )

つまり、A は4個の既約表現をもつ。

χ、χ、χ は1次次元表現(つまり指標)であり、ρは3次元表現である。

証明

の共役類は4個である。

完全代表系は、次のように表される。

(*) e、σ=(12)(34)、τ=(234)、τ=(243)

共役類を書き下すと、

C(e)={ e }

C(σ)={ σ、(13)(24)、(14)(23) }

C(τ)={ τ、(124)、(132)、(143) }

C(τ)={ τ、(123)、(134)、(142) }

また、[A、A]={ e、σ、(13)(24)、(14)(23) } である。(※続・群論)

また、τ、τ−1=τ は [A、A] に属さない。

よって、A/[A、A]={ [A、A]、τ[A、A]、τ[A、A] } である。

よって、A/[A、A] と 「 位数3の巡回群 」 は同型である。

よって、χ(τ[A、A])=ω、χ(τ[A、A])=ω、χ(τ[A、A])=ω である。

よって、χ(τ)=ω、χ(τ)=ω、χ(τ)=ω は A の指標である。(※S26)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

χ、χ、χ について補足する。

χ=ω=1であるから、χ は自明な指標である。

また、χ(e)=e、χ(τ)=ω、χ(τ)=ω である。

また、χ(e)=e、χ(τ)=ω、χ(τ)=ω=ω である。

つまり、χ と χ は異なる指標である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

既に確認したように、A の共役類の個数は4個である。

よって、A の既約表現の個数は4個である。(※S32)

既に、3つの既約表現 χ、χ、χ を得ている。

そこで、残りの既約表現をρとする。

いま、|A|=1+1+1+(dimρ) である。(※S31)

よって、dimρ=3 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

原点を中心としてもつ正四面体を考える。

{ P、・・・、P } を正四面体の頂点とする。

その座標を次のように表す。



いま、



とくに、ρ(σ)は次の関係によって確認できる。( ただし、I は3×3単位行列である )

(*) ρ(σ)=I、ρ(σ)P=P、ρ(σ)P=P

次に、ρが既約表現であることを示す。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ρを V= 上の表現と見なす。

W≠{0} を V の普変部分空間とする。

( 後は W=V を示せばよい )

w=(w、w、w)∈W ( ただし w≠0 ) とおく。

x=ρ(τ)w−w とおく。

y=ρ(τ)x とおく。

いま、x、y∈W である。

また、x=(x、x、0)、y=(y、y、0)の形で表される。(★)

また、



つまり、(x、x) は (w、w) を θ 回転させた点である。

また、(y、y) は (w、w) を 2θ 回転させた点である。

よって、(x、x) と (y、y) は1次独立である。

よって、(x、x) と (y、y) は を生成する。

よって、(★)より、e(1、0、0)、e(0、1、0)∈W である。

いま、



よって、(0、0、1)∈W である。

以上により、W=V(=)である。

つまり、ρは既約である。