群の表現、不変部分空間

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定義 ( GL(V) )

V を K 上のベクトル空間とする。

dimV=n とする。

GL(V)={φ:V→V|detφ≠0、φは線形写像 } と定義する。

定義 ( GL(K) )

K を成分とする n 次正則行列全体を GL(K)と表す。

B1

V を n 次元ベクトル空間とする。

GL(V)とGL(K)は群として同型である。

証明

明らかに、GL(V)は群である。

明らかに、GL(K)は群である。

明らかに、GL(V)とGL(K)は同型である。

補足

A をφ∈GL(V)の表現行列とする。

このとき、φ−1 の表現行列は A−1 である。(※線形代数参照)

定義 ( 表現 )

G を群とする。

φ:G→GL(V)を群の準同型写像とする。

このとき、φを 『 G の V における表現 』 という。

また、dimV を 『φの次数 』 という。

V を表現と呼ぶこともある。

表現を 『 線形表現 』 と呼ぶこともある。

参考

上の定義では V は有限次元であるとした。(※定義:GL(V))

しかし、本来、V が有限次元である必要はない。

V が無限次元の場合には、G や V に位相を導入し、連続性を議論することが多い。

定義 ( 表現の同値性 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

φ:G→GL(V)、ψ:G→GL(W)を表現とする。

ある同型写像 f:V→W が存在して、f*φ(a)=ψ(a)*f (a∈G) となるとする。

このとき、「φとψは同値である 」 という。

また、φ〜ψと表す。

ここでいう同型写像とは、もちろん、ベクトル空間としての同型写像のことである。

これは同値関係である。

定義 ( 表現の直和 )

V、W を K 上のベクトル空間とする。

φ:G→GL(V)、ψ:G→GL(W)を表現とする。

φ□ψ:G→GL(V□W)を(φ□ψ)(a)(v+w)=φ(a)(v)□ψ(a)(w)で定義する。

このとき、φ□ψを 『 φとψの直和 』 という。

明らかに、φ□ψは V□W の表現である。

定義 ( G不変部分空間 )

φ:G→GL(V)を表現とする。

W を V の部分空間とする。

任意の a∈G に対し、φ(a)W⊂W であるとする。

このとき、「 W は G 不変である 」 という。

とくに、W={0}の場合を 『 自明な不変部分空間 』 という。

B2

φ:G→GL(V)を表現とする。

W を G-不変部分空間とする。

このとき、任意の a∈G に対し、φ(a)W=W である。

証明

a∈G とおく。

いま、φ(a−1)W⊂W である。

よって、φ(a)φ(a−1)W⊂φ(a)W である。

一方、φ(a)φ(a−1)W=φ(aa−1)W=W である。(※表現は準同型写像)

よって、W⊂φ(a)W である。

よって、φ(a)W=W である。