準備(表現行列)

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定義 ( 表現行列 )

φ:G→GL(V)を n 次元の表現とする。

V の基底 B を適当に選び、V の元について B の座標ベクトルを考える。

この座標ベクトルに V の元を対応させ、同型写像ρ:K→V を構成できる。

いま、ある行列 A が存在して、T=ρ−1*φ(a)*ρとなる。(※線形代数参照)

( T:K→K は A によって定まる線形写像である )

つまり、φ(a)に対して、行列 A が定まる。

つまり、任意の a に対して、行列が定まる。

そこで、この対応をψ:G→GL(K)とおく。

明らかに、ψは準同型である。

いま、A=ψ(a)である。

よって、Tψ(a)=ρ−1*φ(a)*ρである。

明らかに、φとψは同一視できる。

ψ(a)を 『 表現φの(基底 B に関する)表現行列 』 という。

また、ψ自身をそう呼ぶこともある。

定義 ( 共役 )

A、B∈M(K)とする。

ある正則行列 P が存在して、A=P−1BP となるとする。

このとき、「 A と B は共役である 」 という。

C1

φ:G→GL(V)を表現とする。

、B を V の基底とする。

ρ:G→GL(K)をφの B に関する表現行列とする。

ρ:G→GL(K)をφの B に関する表現行列とする。

このとき、任意の a∈G に対し、ある正則行列 P が存在して、ρ(a)=P−1ρ(a)P となる。

すなわち、1つの表現の異なる基底に関する表現行列は共役である。

証明

これは線形代数の復習である。

証明の詳細は線形代数を参照。

ただし、いまは結果だけ把握してもられば十分である。