イデアル

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定義 ( 左イデアル )

R を環とし、I を R の部分集合とする。

次が成り立つとする。

(1) a、b∈I ⇒ −a+b∈I

(2) a∈I、x∈R ⇒ xa∈I

このとき、I を 『 左イデアル 』 という。

明らかに、イデアルは部分環である。(※B7)

条件(1)はイデアル I が加法に関して R の部分群であることを意味している。(※A5)

定義 ( 右イデアル )

R を環とし、I を R の部分集合とする。

次が成り立つとする。

(1) a、b∈I ⇒ −a+b∈I

(2) a∈I、x∈R ⇒ ax∈I

このとき、I を 『 右イデアル 』 という。

注意 ( 両側イデアル )

左イデアルかつ右イデアルであるとき、これを 『 両側イデアル 』 という。

可換環の場合は左右の区別がないので、単に 『 イデアル 』 という。

また、R が非可換環の場合にも、左、右、両側を総称してイデアルという場合がある。

B10

R を単位元1をもつ環とする。

I を R のイデアルとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 1∈I ならば I=R である。

(2) I に R の単元が属するならば I=R である。

(1)の解答

1∈I と仮定する。

いま、任意の x∈R に対して x=x・1∈I である。

よって、R⊂I である。

一方、明らかに、I⊂R である。

よって、I=R である。

(2)の解答

I に R の単元 u が属するとする。

いま、ある v∈R が存在して 1=vu∈I となる。

よって、(1)より、I=R である。

定義 ( 生成されたイデアル〜その1 )

R を環とする。

S={s、・・・、s}を R の有限部分集合とする。

次のようにおく。



明らかに、I は左イデアルである。

このとき、I を 『 S によって生成される左イデアル 』 という。

また、I=(s、・・・、s)と表す。

右イデアルについても同様の定義ができるが、使わないので省略する。

無限集合の場合にも適用できるように、定義を次のように拡張する。

定義 ( 生成されたイデアル〜その2 )

R を環とする。

S を R の部分集合とする。

I を次のようにおく。



明らかに、I は左イデアルである。

このとき、I を 『 S によって生成される左イデアル 』 という。

S が有限集合の場合、これは定義(生成されたイデアル〜その1)と同じ意味になる。

B11

R を環とする。

S を環 R の有限部分集合とする。

このとき、S によって生成される左イデアルは、S を含む最小の左イデアルである。

証明

S={s、・・・、s}とする。

I を S によって生成されるイデアルとする。

J を左イデアルとし、S⊂J とする。

いま、x+・・・+x∈J ( x∈R ) である。(※定義:左イデアル)

よって、I⊂J である。

よって、I は S を含む最小のイデアルである。