群の作用(環上の加群)

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定義 ( 群の作用 )

G を群とし、X を集合とする。

任意の g∈G、x∈X に対し、gx∈X が一意に定まるとする。

次が成り立つとする。

(1) 任意の g、h∈G、x∈X に対し、(gh)x=g(hx) である。

(2) 任意の x∈X に対し、1x=x である。

このとき、「 G は X に作用する 」 という。

『 群の作用 』 と 『 群の演算 』 は区別しよう。

群の作用を * で表すと、上の(1)、(2)は次のように表せる。

(1) (gh)*x=g*(h*x)

(2) 1*x=x

定義 ( 左R加群 )

R を単位元をもつ環とする。

M を空でない集合とする。

M は加法群であるとする。

M には R の左からの作用 ax∈M (a∈R、x∈M)が定義されているとする。

R の左からの作用は次を満たすとする。

(1) a(x+y)=ax+ay、(a+b)x=ax+bx

(2) (ab)x=a(bx)

(3) 1x=x

このとき、M を 『 左R加群 』 という。

これを略して、単に 『 R加群 』 という。

また、R の元を 『 スカラー 』 という。

左からの作用を簡単に 『 スカラー倍 』 ということもある。

上では左R加群を定義した。

左からの作用の代わりに、右からの作用を考えれば、右R加群を定義することもできる。

しかし、使用しないので、右R加群に関する定義は省略する。

参考

書物によっては、R加群の定義において、環として可換環を採用しているものもある。

R が可換環である場合、左R加群と右R加群の区別はなくなる。

参考

K を体とする。

M は加法に関してアーベル群であるとする。

体 K 上の加群を 『 K上のベクトル空間 』 という。

つまり、環上の加群はベクトル空間の一般化である。

定義 ( 部分加群 )

M を R加群とする。

N を M の部分集合とする。

『 M の加法 』 と 『 R の M への左作用 』 を N に制限する。

これによって、N が R加群になるとする。

このとき、N を 『 M の部分加群 』 という。

C1

M を R加群とする。

N を M の部分集合とする。

このとき、N が M の R部分加群となるための必要十分条件は、次が成り立つことである。

(1) x、y∈N ⇒ x−y∈N

(2) a∈R、x∈N ⇒ ax∈N

証明

(1)は N が M の加法に関して部分群となる必要十分条件である。(※第1章)

(2)は R による左からの作用を N に制限すれば、それが N においても作用になることを意味する。

写像を制限しただけであるから、この演算は定義(部分加群)の条件(1)〜(3)を満たす。

定義 ( 部分加群の和 )

M を R加群とする。

、・・・、N を M の R部分加群とする。

次のように定義する。



明らかに、N+・・・+N は M の R部分加群である。

+・・・+N を 『 N、・・・、N の和 』 という。

定義 ( 部分加群の生成 )

M を R加群とする。

S を M の部分集合とする。

S を含むようなMのR部分加群全体の共通部分を [S] と表す。

明らかに、[S] は M の R部分加群である。

[S] を 『 Sで生成された R部分加群 』 という。

つまり、[S] は S を含む最小の R部分加群である。

C2

M を R加群とする。

S を M の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

右辺を T とおく。

明らかに、T⊂[S] である。

一方、T は R部分加群である。

しかも、T は S を含む。

よって、[S]⊂T である。(※[S] の最小性 )

定義 ( 剰余加群 )

M を R加群とする。

N を M の R部分加群とする。

M/N を加法群としての剰余群とする。

つまり、任意の [u]、[v]∈M/N に対し、[u]+[v]=[u+v] である。

さらに、a∈R、[x]∈M/N に対し、a[x]=[ax] と定義する。

このとき、M/N は R加群になる。(★)

M/N を 『 M の N による剰余R加群 』 という。

補足

[x] は x+N を意味することに注意。

(★)について証明

M/N が加法群であることは既に分かっている。

M/N がスカラー倍に関して、R加群の条件を満たすことも明らかである。

ただし、スカラー倍の定義が well-defined であることを確認する必要がある。

[x]、[y]∈M/N とおく。

[x]=[y] とする。

いま、x−y∈N である。(※第1章:剰余群)

よって、ax−ay∈N である。(※ N は R部分加群)

よって、[ax]=[ay] である。

以上により、[x]=[y] ならば a[x]=a[y] である。

よって、スカラー倍の定義は well-defined である。

補足

well-defined を苦手とする人は多いらしいのでもう少し補足しておく。

いま、スカラー倍 a[x]=[ax] について考えている。

スカラー倍 は R×M/N から M/N への写像(演算)を考えている。

実際、a∈R、[x]∈M/N であり、[ax]∈M/N である。

よって、この演算が well-defined であることを確認するには、次の(1)を示せばよい。(※定理W)

(1) (a、[x])=(a、[y]) ⇒ [ax]=[ay]

つまり、次のことを示せばよい。

(2) [x]=[y]=[ax]=[ay]

なので、(★)についての証明では(2)を示したのである。

定義 ( R準同型写像 )

M、M’を R加群とする。

f:M→M’を写像とする。

次が成り立つとする。

(1) f(x+y)=f(x)+f(y)

(2) f(ax)=af(x) (a∈R)

このとき、f を 『 R準同型写像 』 という。

つまり、準同型写像は線形写像の一般化である。

定義 ( R同型 )

M、M’を R加群とする。

f:M→M’を R準同型写像とする。

f は全単射であるとする。

このとき、「 M と M’は R同型である 」 という。

定義 ( 標準的R準同型写像 )

M を R加群とする。

N を M の R部分加群とする。

f:M→M/N を f(x)=[x] で定義する。

このとき、f を 『 標準的R準同型写像 』 という。

明らかに、標準的準同型写像は全射である。

明らかに、Kerf=N である。

C3

M、M’を R加群とする。

f:M→M’を R準同型写像とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) Imf は M’の R部分加群である。

(2) Kerf は M の R部分加群である。

また、次は同値である。

(3) f は単射である。

(4) Kerf={0}である。

証明

(1)と(2)が成り立つことは明らかである。

(3)と(4)の同値性は群論と同様である。

C4 ( 環上の加群に関する準同型定理 )

M、M’を R加群とする。

f:M→M’を R 準同型写像とする。

π:M→M/Kerf を自然な R 準同型写像とする。

このとき、ある準同型写像φ:M/Kerf→M’が一意的に存在して、φ*π=f となるようにできる。

しかも、φは M/Kerf から Imf へのR同型写像である。

証明

証明は 『 群の準同型定理 』 や 『 ベクトル空間の準同型定理 』 と同様である。