環上の加群

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定義 ( 左 A 加群 )

A を環とする。

M を加法群とする。

M には A による左からの作用 ax∈M (a∈A、x∈M)が定義されているとする。

次が成り立つとする。

(1) a(x+y)=ax+ay、(a+b)x=ax+bx

(2) (ab)x=a(bx)

(3) 1x=x

このとき、M を 『 左 A 加群 』 という。

これを略して、単に 『 A 加群 』 という。

また、A の元を 『 スカラー 』 という。

左からの作用を簡単に 『 スカラー倍 』 ということもある。

定義に書いたように、M は加法群である。

つまり、M は+に関して群である。

群について忘れている人がいるかもしれないので、念のために書き下しておけば、

(1) 任意の a、b、c∈M に対し、(a+b)+c=a+(b+c)である。

(2) ある 0∈M が存在して、任意の a∈M に対し、a+0=0+a=a である。

(3) 任意の a∈M に対し、ある x∈M が存在して、a+x=x+a=0 である。

上では左 A 加群を定義した。

左からの作用の代わりに、右からの作用を考えれば、右 A 加群を定義することもできる。

しかし、使用しないので、右 A 加群に関する定義は省略する。

参考

A が可換環である場合、左A加群と右A加群の区別はなくなる。

参考

K を体とする。

体 K 上の(可換な)加群を 『 K上のベクトル空間 』 という。

つまり、環上の加群はベクトル空間の一般化である。

定義 ( 部分加群 )

M を A 加群とする。

N を M の部分集合とする。

『 M の加法 』 と 『 A の M への左作用 』 を N に制限する。

これによって、N が A 加群になるとする。

このとき、N を 『 M の部分加群 』 という。

A1

M を A 加群とする。

N を M の部分集合とする。

このとき、次は同値である。

(1) N は M の A 部分加群である。

(2) 「 x、y∈N ⇒ x−y∈N 」 かつ 「 a∈A、x∈N ⇒ ax∈N 」

証明

明らかである。

定義 ( 剰余加群 )

M を A 加群とする。

N を M の A 部分加群とする。

M/N を(加法群としての)剰余群とする。

つまり、次が成り立つ。

(*1) 任意の [x]、[y]∈M/N に対し、[x]+[y]=[x+y] である。

(*2) 任意の a∈A、[x]∈M/N に対し、a[x]=[ax] である。

このとき、M/N は A 加群になる。(★)

M/N を 『 M の N による剰余 A 加群 』 という。

補足

[x] は x+N を意味することに注意。

(★)について証明

M/N が加法群であることは既に分かっている。

M/N がスカラー倍に関して、A 加群の条件を満たすことも明らかである。

ただし、スカラー倍の定義が well-defined であることを確認する必要がある。

[x]、[y]∈M/N とおく。

[x]=[y] とする。

いま、x−y∈N である。(※定義:剰余群)

よって、ax−ay∈N である。(※ N は A 部分加群)

よって、[ax]=[ay] である。

以上により、[x]=[y] ⇒ a[x]=a[y] である。

よって、スカラー倍の定義は well-defined である。

定義 ( A準同型写像 )

M、M’を A 加群とする。

f:M→M’を写像とする。

次が成り立つとする。

(1) f(x+y)=f(x)+f(y)

(2) f(ax)=af(x) (a∈A)

このとき、f を 『 A準同型写像 』 という。

つまり、準同型写像は線形写像の一般化である。

定義 ( A同型 )

M、M’を A 加群とする。

f:M→M’を A 準同型写像とする。

f は全単射であるとする。

このとき、「 M と M’は A 同型である 」 という。

定義 ( 自然な A 準同型写像 )

M を A 加群とする。

N を M の A 部分加群とする。

f:M→M/N を f(x)=[x] で定義する。

このとき、f を 『 自然な A 準同型写像 』 という。

明らかに、自然な準同型写像は全射である。

むろん、Kerf=N である。

A2

M、M’を A 加群とする。

f:M→M’を A 準同型写像とする。

このとき、次の(1)、(2)が成り立つ。

(1) Imf は M’の A 部分加群である。

(2) Kerf は M の A 部分加群である。

また、次の(3)と(4)は互いに同値である。

(3) f は単射である。

(4) Kerf={0}である。

証明

群と同様に証明できる。

A3 ( 環上の加群に関する準同型定理 )

M、M’を A 加群とする。

f:M→M’を A 準同型写像とする。

π:M→M/Kerf を自然な A 準同型写像とする。

このとき、ある準同型写像φ:M/Kerf→M’が一意に存在して、φ*π=f となる。

しかも、φは M/Kerf から Imf への A 同型写像である。

証明

証明は群の準同型定理の場合と同様である。