拡大体

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定義 ( 拡大体 )

E を体とする。

F を E の部分体とする。

このとき、E を 『 F の拡大体 』 という。

また、「 E/F は拡大である 」 という。

定義 ( 代数的 )

E/F を拡大とする。

α∈E とおく。

α={ f(X)∈F[X]|f(α)=0 } と定義する。

明らかに、Jα は F[X] のイデアルである。

α≠(0)のとき、「αは F 上で代数的である 」 という。

α=(0)のとき、「αは F 上で超越的である 」 という。

参考

E/F を拡大とする。

明らかに、次は同じ意味である。

(1) α∈E が F 上で代数的である。

(2) ある g(X)∈F[X] (degg(X)≧1)が存在して、α∈E は g(X)の根になる。

参考

√2 は 上で代数的である。

証明

f(X)=X−2 とおく。

いま、f(X)∈[X] である。

実際、1∈、−2∈ である。

また、√2 は f(X)の根である。

実際、f(√2)=0 である。

以上により、√2 は 上で代数的である。

参考

πや e は 上で超越的であることが知られている。

πが 上で超越的であることは1882年にリンデマンによって証明された。

e が 上で超越的であることは1873年にエルミートによって証明された。

つまり、どのような f(X)∈[X] を考えても、πや e が f(X)の根となるようにはできない。

定義 ( 最小多項式 )

E/F を拡大とする。

α∈E は F 上で代数的であるとする。

一方、F[X] は単項イデアル整域である。(※A36)

よって、ある p(X)∈F[X] が存在して、Jα=(p(X))となる。

イデアルの生成元を単元倍しても、生成されるイデアルは変化しない。

そこで、p(X)の最高次係数を a∈F として、a−1p(X)を生成元として採用してよい。

つまり、最初から p(X)の最高次係数は1であるとしてよい。

明らかに、p(X)は Jα に含まれる元で、0以外の元としては次数が最小である。

このとき、p(X)を 『 αの F 上の最小多項式 』 という。

degp(X)を 『αの F 上の次数 』 という。

通常、p(X)の最高次係数として 1 を採用する。

ただし、必ず 1 を採用しなければならないということではない。

C1 ( 最小多項式は既約である )

E/F を拡大とする。

α∈E とする。

p(X)をαの F 上の最小多項式とする。

f(X)∈F[X] とする。

このとき、次は同値である。

(1) f(α)=0

(2) p(X)|f(X)

また、次が成り立つ。

(3) p(X)は F 上で既約である。

(1)⇔(2)の証明

明らかである。(※定義:最小多項式)

(3)の証明

p(X)は可約であるとする。(背理法)

いま、次が成り立つ。



また、p(α)p(α)=p(α)=0 である。

また、F[X] は整域である。

よって、p(α)=0 または p(α)=0 である。

(α)=0 ならば p(X)∈Jα である。

よって、ある q(X)∈F[X] が存在して、p(X)=q(X)p(X)となる。

しかし、両辺の次数を考えれば、これは矛盾である。

(α)=0 の場合も同様に矛盾が導かれる。

定義 ( 基底 )

E/F を拡大とする。

E を F 上のベクトル空間とみなす。

ベクトル空間としての E の F 上の基底を 『 E/F の基底 』 という。

定義 ( 拡大次数 )

E/F を拡大とする。

E を F 上のベクトル空間とみなす。

このとき、E の次元 dimE を 『 E/F の拡大次数 』 という。

また、dimE を [E:F] と表す。

[E:F]<∞ のとき、E を 『 F上の有限次拡大 』 という。

[E:F]=∞ のとき、E を 『 F上の無限次拡大 』 という。

C2

E/K と K/F を拡大とする。

{ vλ|λ∈J } を E の K 上の基底とする。

{ wμ|μ∈J } を K の F 上の基底とする。

このとき、{ vλμ|λ∈J、μ∈J } は E の F 上の基底である。

つまり、[E:F]=[E:K][K:F]である。

証明

θ∈E とおく。

いま、θ=λλλ と表せる。(aλ∈K)

また、aλμλμμ と表せる。(bλμ∈F)

よって、θ=λμλμ(vλμ)と表せる。

つまり、{ vλμ|λ∈J、μ∈J } は F 上で E を生成する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に1次独立性を示す。

λ,μλμ(vλμ)=0 とする。(cλμ∈F)

いま、μλμμ∈K かつ λμλμμ)vλ=0 である。

いま、{ vλ|λ∈J } は K 上で1次独立である。

よって、λλμμ=0 である。

また、{ wμ|μ∈J } は F 上で1次独立である。

よって、cλμ=0 である。

以上により、{ vλμ|λ∈J、μ∈J } は F 上で1次独立である。

参考

]=2 である。

例えば、{ 1、i } は 上の基底である。

参考

]=∞ である。

これの証明は省略する。

C3

E/F を拡大とする。

このとき、次は同値である。

(1) [E:F]=1

(2) E=F

証明

(1)を仮定する。

F を E の部分ベクトル空間として考える。

{v} を F の基底とする。

いま、v は E の元であり、1次独立である。

また、仮定より、dimE=1である。

よって、{v}は E の基底でもある。

よって、E=F である。

一方、(2)⇒(1)は明らかである。