簡単な確認(体上の多項式環)

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復習 ( 多項式環 )

R を環とする。

X を変数とする。

、a、・・・、a∈R とおく。

形式的に、f(X)=a+aX+・・・+a を考える。

このとき、f(X)を 『 1変数多項式 』 という。

とくに、a を 『 定数項 』 という。

1変数多項式全体を R[X] と表す。

多項式の和と積を通常の多項式の和と積と同様に定義する。

このとき、明らかに、R[X] は可換環になる。

R[X] を 『 R上の1変数多項式環 』 という。

R の元は定数項のみの多項式と見なす。

つまり、R⊂R[X]である。

f(X)=a+aX+・・・+a∈R[X] は a、a、・・・、a∈R を意味するものとする。

定義 ( 零多項式 )

f(X)=a+aX+・・・+a∈R[X] とする。

=・・・=a=0 とする。

このとき、f(X)を 『 零多項式 』 という。

あるいは、「 f(X)は恒等的に 0 である 」 という。

また、f(X)=0 と表す。

一方、f(X)≠0 は f(X)が零多項式ではないことを意味する。

参考

F を体とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F[X] の単元全体は F−{0} である。

(2) F[X] は整域である。

(3) F[X] は体ではない。

(1)の証明

f(X)∈F[X]とおく。

f(X)の次数が1以上であるとする。

いま、明らかに、f(X)は単元ではない。

例えば、f(X)=aX+b ( a、b∈F ) とおいてみよう。

いま、f(X)g(X)=1 を満たす g(X)∈F[X] は存在しない。

よって、f(X)は単元ではない。

f(X)が定数項のみからなる場合には、むろん、f(X)は単元である。

より詳しく言えば、F[X]の単元全体は F−{0} である。

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

(1)で述べたように、次数1以上の f(X)∈F[X] は単元ではない。

よって、F[X] は体ではない。

つまり、F は体だが、F[X] は体ではない。

参考

F を体とする。

f(X)∈F[X] とする。

このとき、次は同じ意味である。

(1) f(X)≠0 であり、f(X)は単元ではない。

(2) f(X)は F には含まれない。

(3) f(X)は定数ではない。

(4) degf(X)≧1である。

証明

明らかである。

注意 ( 既約多項式 )

F を体とする。

このとき、F[X] は整域である。( しかも単項イデアル整域である )(※S36)

つまり、F[X] において既約元を考えることができる。

F[X] の既約元を 『 既約多項式 』 という。

f(X)∈F[X] を既約多項式とする。

g(X)∈F[X] かつ g(X)|f(X) であるとする。

このとき、次が成り立つ。(※S25)

(1) f(X)≠0

(2) f(X)は単元ではない。

(3) ある u∈F−{0}が存在して、g(X)u=1 または g(X)u=f(X)である。

とくに、(3)は次のように言い換えられる。

(4) 「 g(X)は定数 」 または 「 ある u∈F−{0}が存在して、g(X)u=f(X) である 」

注意 ( 可約多項式 )

f(X)∈F[X] とおく。

f(X)≠0 であり、f(X)は単元ではないとする。

このとき、f(X)が可約であることは、f(X)が次の形で表されることを意味する。

証明

このことは定義(既約元、可約元)を確認すれば分かる。

しかし、説明を加えておく。

まず、f(X)が既約であるとする。

いま、

「 g(X)|f(X)」 ⇒ 「 g(X)〜1 または g(X)〜f(X) 」

つまり、

「 g(X)|f(X)」 ⇒ 「 ある u∈F−{0}が存在して、g(X)u=1 または g(X)u=f(X) 」

一方、f(X)が可約ならば、上の否定を考えればよいから、

「 g(X)|f(X)」 かつ 「 任意の u∈F−{0}に対し、g(X)u≠1 かつ g(X)u≠f(X) 」

つまり、

「 g(X)|f(X)」 かつ 「 degg(X)≧1 かつ degf(X)≧2 」

参考 ( 議論の順番を逆にしてみると・・・ )

上では、既約を定義してから可約を定義した。

そして、可約の意味を考察したのであった。

一方、議論の順番を逆にすることもできる。

まず、「 f(X)は1次以上の多項式の積に分解できる 」 を 『 可約の定義 』 として採用する。

その後で、「 f(X)は可約ではない 」 を 『 既約の定義 』 として採用する。

このとき、f(X)が既約であるとは、どのようなことを意味するのであろうか?

簡単に分かるように、これは次のことを意味する。

(1) f(X)は分解できない。

これの意味をさらに詳しく考察すれば、明らかに、次のような意味になる。

(2) 「 g(X)が f(X)を割り切る 」 ならば 「 g(X)は、定数または f(X)の定数倍 」

これは、このサイトで採用した既約の定義と同じである。

参考

φ:R[X]→R を φ(f(X))=f(0) で定義する。

明らかに、Kerφ=(X)である。

よって、R[X]/(X) と R は同型である。(※準同型定理)

(X)は単項イデアルである。

つまり、(X)={g(X)X|g(X)∈R[X] } である。

つまり、(X)は定数項を含まない多項式全体である。

定義 ( R内の根 )

f(X)∈R[X] とする。

あるαが存在して、f(α)=0 をみたすとする。

このとき、α を 『 f(X)の根 』 という。

とくに、α∈R であるとき、α を 『 f(X)の R 内の根 』 という。

補足

次の(1)、(2)は同じ意味である。

(1) α は f(X)=0 の解である。

(2) α は f(X) の根である。

参考

多項式の係数が全て環 R に含まれていても、その多項式の根が R に含まれるとは限らない。

具体例を考えてみよう。

よく知られているように、 は環である。

そこで、f(X)=2X−1∈[X] とおく。

いま、f(X)の根 X=1/2 は に含まれていない。

ただし、f(X)∈[X] と見なせば、X=1/2 は に含まれる。

参考 ( 剰余定理、因数定理 )

R を整域とする。

f(X)∈R[X] とする。

α∈R とする。

このとき、ある g(X)∈R[X] が一意に存在して、f(X)=g(X)(X−α)+f(α)となる。

また、次は同値である。

(1) f(α)=0

(2) X−αは f(X)を割り切る。

証明

いま、X−α∈R[X] である。

よって、ある g(X)、h(X)∈R[X] が一意に存在して、次のように表せる。(※S4)

(*) f(X)=g(X)(X−α)+h(X)、degh(X)<deg(X−α)

deg(X−α)=1であるから、degh(X)=0 である。

つまり、degh(X)は定数である。

そこで、h(X)=c∈R とおく。

いま、f(X)=g(X)(X−α)+c である。

よって、f(α)=c である。

よって、f(X)=g(X)(X−α)+f(α)である。

また、(1)⇔(2)は明らかである。

参考

α∈R が f(X)∈R[X] の根であるとする。

上で示したことから、ある g(X)∈R[X] が一意に存在して、f(X)=g(X)(X−α)となる。

この考え方は基本的である。

ただし、α∈R でない場合は使えないので注意が必要である。