環、体、整域

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定義 ( 環 )

R を空でない集合とする。

R に2つの演算として和と積が定義されているとする。

次が成り立つとする。

(1) 和に関してアーベル群である。

(2) 積に関して結合則が成り立つ。

(3) 分配則が成り立つ。

このとき、R を 『 環 』 という。

(3)は、任意の a、b、c∈R に対して次が成り立つことを意味する。

(*1) a(b+c)=ab+ac

(*2) (a+b)c=ac+bc

注意

環 R の和に関する単位元を 0 と表し、『 R の零元 』 という。

また、和に関する a∈A の逆元を −a と表す。

定義 ( 単位元をもつ環 )

R を環とする。

積に関して単位元があるとする。

これを1と表す。

つまり、任意の a∈R に対し、a1=1a=a である。

このとき、R を 『 単位元をもつ環 』 という。

1を 『 R の単位元 』 という。

この意味での 1 を e と表す本もある。

参考

上で述べた 『 単位元をもつ環 』 を環として定義している本もある。

定義 ( 単元 )

R を単位元1をもつ環とする。

a∈R とおく。

ある x∈R が存在して、ax=xa=1 となるとする。

このとき、a を 『 R の単元 』 という。

積に関する a の逆元 x を a−1 と表す。

定義 ( 可換環、非可換環 )

R を環とする。

任意の a、b∈R に対し、ab=ba であるとする。

このとき、R を 『 可換環 』 という。

可換環でない環を 『 非可換環 』 という。

実数 を成分とする n 次正方行列全体を M(n、)と表す。

M(n、)は行列の和と積について環である。

とくに、n≧2 ならば M(n、)は 『 非可換環 』 である。

定義 ( 体 )

K を単位元1をもつ環とする。

K において、0 以外の任意の元が単元であるとする。

このとき、K を 『 斜体 』 という。

乗法に関して可換な斜体を 『 体 』 という。

参考

明らかに、 は通常の和と積に関して環である。

そこで、この環を 『 有理整数環 』 という。

また、明らかに、 は体である。

そこで、 を 『 有理数体 』、『 実数体 』、『 複素数体 』 という。

B1

R を環とする。

a、b∈R とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) a0=0a=0

(2) a(−b)=(−a)b=−ab

(3) (−a)(−b)=ab

(1)の証明

a0=a(0+0)=a0+a0 である。

両辺に、−a0 を加えると、a0=0 である。

同様に、0a=0 である。

(2)の証明

(1)より、ab+(−a)b=(a+(−a))b=0b=0 である。

これは ab の逆元が (−a)b であることを意味している。

よって、(−a)b=−ab である。

(3)の証明

(1)、(2)より、−ab+(−a)(−b)=(−a)b+(−a)(−b)=(−a)(b+(−b))=−a0=0 である。

よって、(−a)(−b)=ab である。

注意 ( 零環 )

和に関する単位元 0 のみからなる環{0}を 『 零環 』 という。

以下の議論では 「 単位元1をもつ環 」 は零環でないとする。

「 零環にはそもそも単位元1が存在しないのでは?」 と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、定義(単位元をもつ環)に注意すれば、零環では 0=1 となることが分かる。

このような特殊なものは議論から外すのである。

つまり、今後の議論で登場する環については、つねに 0≠1 である。

定義 ( 左零因子 )

R を環とする。

a∈R とおく。

0 でない元 x∈R が存在して、ax=0 となるとする。

このとき、a を 『 左零因子 』 という。

定義 ( 右零因子 )

R を環とする。

a∈R とおく。

0 でない元 x∈R が存在して xa=0 となるとする。

このとき、a を 『 右零因子 』 という。

注意 ( 零因子 )

R が可換環であるとき、左零因子と右零因子の区別はなくなる。

そこで、R が可換環である場合は、単に 『 零因子 』 という。

また、R が可換環でない場合も、左右を総称して零因子と呼ぶ場合がある。

定義 ( 巾零元 )

R を環とする。

a∈R に対し、自然数 n が存在して、a=0 となるとする。

このとき、a を 『 巾零元 』 という。

B2

環 R の元 a が巾零元ならば、a は零因子である。

証明

仮定より、ある自然数 n が存在して、a=0 となる。

そのような自然数のうち最小のものを改めて n とおく。

n=1の場合、a は明らかに零因子であるから、n>1としてよい。

ここで、b=an−1 とおくと、b≠0 である。

しかも、ab=0 であるから、a は零因子である。

定義 ( 整域 )

R を単位元1をもつ可換環とする。

任意の a、b∈R−{0}に対し、ab≠0 とする。

このとき、R を 『 整域 』 という。

つまり、整域の零因子は零元だけである。

例えば、有理整数環 は整域である。

B3

体は整域である。

証明

体 F の元 a≠0 が零因子であるとする。(背理法)

いま、ある b∈F−{0}が存在して、ab=0 となる。

F は体であるから、a の逆元 a−1 が存在する。

−1 を上式の両辺に左からかけると、b=0 である。

これは矛盾である。

B4 ( 整域の消去則 )

R を整域とする。

a、b、c∈R とする。

このとき、ac=bc かつ c≠0 ならば、a=b である。

証明

ac=bc かつ c≠0 と仮定する。

両辺に、−bc を加えると、ac−bc=0 である。

分配則より、(a−b)c=0 である。

いま、R は整域であり、c≠0 である。

よって、a−b=0 である。

よって、a=b である。

補足

ところで、次のように証明を書くとどうであろうか?

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ac=bc かつ c≠0 と仮定する。

上式の両辺に c−1 を掛ける。

すると、a=b となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

これは間違いである。

実際、c−1 が存在するとは限らない。

参考

ある意味で、定義(環)の(1)〜(3)を暗記する必要はない。

例えば、結合則は演算について基本的である。

実際、初学の段階で結合則が付かない演算をもつ代数系は登場しないであろう。

その意味で、環の積に対して結合則を仮定することは当然である。

また、和と積が定義されているときに分配則は基本的である。

分配則がなければ和と積の関連性がなくなってしまい、意味がなくなってしまう。

その意味で、環に分配則を仮定することは当然である。

結局、環とは 『 和に関するアーベル群に積が入ったもの 』 である。