完全系列、複体

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参考 ( 複体 )

A を環とする。

を左 A 加群とする。

次のような列を考える。

→Mn+1(dn+1)→M(d)→Mn−1(dn−1)→ (★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ただし、列(★)は次のことを意味する。

n+1:Mn+1→M

:M→Mn−1

n−1:Mn−1→Mn−2

・・・

また、各 d は準同型写像であるとする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

任意の i に対し、d*di+1=0 が成り立つとする。

このとき、列(★)を 『 A加群の複体 』 という。

とくに、番号が減少する複体を 『 チェイン複体 』 という。

また、番号が増加する複体を 『 コチェイン複体 』 という。

明らかに、Im(di+1)⊂Ker(d)である。

複体の中では{0}を 0 と表す。

定義 ( 完全系列 )

A を環とする。

を左 A 加群とする。

次のような列を考える。

→M(f)→Mi+1(fi+1)→Mi+2(fi+2)→ (★)

任意の i に対し、Imf=Kerfi+1 であるとする。

このとき、列(★)を 『 完全系列 』 という。

明らかに、fi+1*f=0 である。

完全系列の中では{0}を単に 0 と表す。

A11

次の(1)、(2)は同値である。

(1) 0→M→0 は完全である。

(2) M=0

次の(3)、(4)は同値である。

(3) 0→M(f)→N は完全である。

(4) f は単射

次の(5)、(6)は同値である。

(5) M(f)→N→0 は完全である。

(6) f は全射

次の(7)、(8)は同値である。

(7) 0→M(f)→N→0 は完全である。

(8) f は同型写像

(1)⇔(2)の証明

0(f)→M(g)→0 とおく。

(1)を仮定する。

いま、Im(f)=Kerg である。

また、Im(f)=0 である。

また、Kerg=M である。

よって、M=0 である。

一方、(2)⇒(1)は明らかである。

(3)⇔(4)の証明

0(g)→M(f)→N とおく。

(3)を仮定する。

いま、Img=Kerf である。

また、Img=0 である。

よって、Kerf=0 である。

よって、f は単射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(4)を仮定する。

いま、Kerf=0 である。

一方、Img=0 である。

よって、Img=Kerf である。

(5)⇔(6)の証明

M(f)→N(g)→0 とおく。

(5)を仮定する。

いま、Imf=Kerg である。

また、Kerg=N である。

よって、Imf=N である。

よって、f は全射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(6)を仮定する。

いま、Imf=N である。

一方、Kerg=N である。

よって、Imf=Kerg である。

(7)⇔(8)の証明

0(g)→M(f)→N(h)→0 とおく。

(7)を仮定する。

いま、Img=Kerf、Imf=Kerh である。

また、Img=0 である。

また、Kerh=N である。

よって、Kerf=0 かつ Imf=N である。

よって、f は全単射である。

よって、f は同型写像である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(8)を仮定する。

いま、Kerf=0、Imf=N である。

また、Img=0、Kerh=N である。

よって、Img=Kerf、Imf=Kerh である。

A12

次は同値である。

(1) 0→M(f)→N(g)→L→0 は完全である。

(2) f は単射、g は全射、Imf=Kerg である。

証明

(1)を仮定する。

いま、f は単射である。(※B1(4))

また、g は全射である。(※B1(6))

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、0→M(f)→N は完全である。(※B1(3))

また、N(g)→L→0 は完全である。(※B1(5))

定義 ( 短完全系列 )

0→M(f)→N(g)→L→0 が完全であるとする。

このとき、この完全系列を 『 短完全系列 』 という。