表現の可約性、既約性、指標

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定義 ( 既約 )

φ:G→GL(V)を K 上の表現とする。

V の G 不変部分空間は自明なもののみであるとする。

( つまり、V または{0}である )

このとき、「 φは既約である 」 という。

また、φが既約でないとき、「 φは可約である 」 という。

定義 ( 既約、可約〜その2 )

ρ:G→GL(n)を K 上の行列表現とする。

ある n 次正則行列 P、自然数 n (0<n<n)が存在して、次を満たすとする。



このとき、「 ρは可約である 」 という。

可約でないとき、「 ρは既約である 」 という。

いま、ρ(g)=ρ(g)ρ(g)である。

よって、g∈G に対して次が成り立つ。

(*1) ρ(g)=ρ(g)ρ(g

(*2) a(g)=ρ(g)a(g)+a(g)ρ(g

とくに、(*1)より、ρ とρ は G の表現である。

定義 ( 指標 )

χ:G→GL(V) を 上の1次元表現とする。

このとき、χを 『 指標 』 という。

当然、χは既約である。

むろん、次が成り立つ。

(*1) χ(1)=1

(*2) χ(g)=χ()χ(g

定義 ( 指標の双対群 )

G の指標全体を G と表す。

χ、χ∈G に対し、次のように積を定義する。

(*) χχ(g)=χ(g)χ(g)

明らかに、この積によって G は群となる。

このとき、G を 『 G の双対群 』 という。

定義 ( 交換子 )

G を群とする。

a、b∈G に対し、[a、b]=aba−1−1 と定義する。

このとき、[a、b] を 『 a と b の交換子 』 という。

定義 ( [H、H] )

G を群とする。

、H を G の部分群とする。

{ [a、b]:a∈H、b∈H] } によって生成される G の部分群を [H、H] と表す。

定義 ( 交換子群 )

G を群とする。

このとき、[G、G]を 『 G の交換子群 』 という。

S25 ( アーベル化 )

G を群とする。

このとき、[G、G] は G の正規部分群である。

また、G/[G、G] は可換群である。

補足

G/[G、G]を 『 G のアーベル化 』 という。

証明

省略する。

詳しい証明を知りたい人は続・群論インデックスを参照。

S26 ( G/[G、G]は自然な指標をもつ )

G は非可換であるとする。

χを G の指標とする。

このとき、[G、G]上で χ=1 である。

つまり、G/[G、G]は自然な指標をもつ。(※定義(指標)の補足(*1)に注意)

証明

g、h∈G とおく。

いま、χ(ghg−1−1)=χ(g)χ(h)χ(g−1)χ(h−1)=1である。

つまり、χ([g、h])=1である。

一方、[G、G] は [g、h] によって生成される。

よって、χは [G、G] 上でχ=1である。

S27

有限群の既約表現は有限次元である。

証明

φ:G→GL(V)を表現とする。

v∈V ( ただし v≠0 ) とおく。

∈G とおく。

w∈φ(G)v とおく。

いま、w=φ(g)v と表せる。

また、φ(g)w=φ(gg)v である。

よって、φ(g)φ(G)v=φ(G)v である。

つまり、φ(G)v は G 不変である。

よって、<φ(G)v> も G 不変である。( ここで <A> は A によって生成される部分空間を意味する )

いま、G は既約である。

よって、<φ(G)v>=V である。

よって、dimV≦|φ(G)v|≦|G|<∞ である。

S28

可換群の 上の既約表現はすべて1次元である。

証明

省略する。

定義 ( 表現の同値性 )

φ:G→GL(V)、φ:G→GL(V)を表現とする。

ある線形写像 S:V→V が存在して、S*φ(g)=φ(g)S ( g∈G ) となるとする。

このとき、「 φ とφ は同値である 」 という。

また、S を 『 Vから V への相関 』 という。

定義 ( G の双対 )

既約表現の同値類全体を G と表す。

このとき、G を 『 G の双対 』 という。

参考

G を可換群とする。

このとき、『 G の双対 G 』 と 『 指標の双対群 G 』 は一致する。(※S28)

G が非可換である場合にも、G/[G、G] に対して一致する。(※S25)

S29 ( シューアの補題〜その1 )

φ:G→GL(V)、φ:G→GL(V)を K 上の有限次元な表現とする。

φ、φ は既約であるとする。

このとき、φ と φ の相関は 0 または可逆である。

証明

S を V から V への相関とする。

明らかに、KerS は V の G 不変部分空間である。

明らかに、ImS は V の G 不変部分空間である。

いま、φ とφ は既約である。

S≠0 の場合、KerS={0}、ImS=V である。

いま、V は有限次元である。

よって、これは S が可逆であることを意味する。

S30 ( シューアの補題〜その2 )

φ:V→GL(V)を 上の有限次元な既約表現とする。

このとき、φ自身への相関は cI (c∈) である。

証明

上の有限次元ベクトル空間上の線形変換は少なくとも1つの固有値をもつ。(※線形代数)

V(λ)を、S の固有値λに付く固有ベクトル全体とする。

よく知られているように、V(λ)は部分空間である。(※線形代数)

v∈V(λ)とおく。

いま、S(φ(g)v)=φ(g)(Sv)=λ(φ(g)v)である。

よって、φ(g)v∈V(λ)である。

つまり、V(λ) は G 不変である。

いま、φは既約である。

よって、V(λ)=V である。

つまり、S=λI である。