正k多面体の位数

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定義 ( 正多面体 )

を、面がすべて合同な正 k 角形である多面体とする。

の頂点に集まる辺の個数はすべて等しいとする。

このとき、T を 『 正 k 面体 』 という。

正 k 面体を総称して 『 正多面体 』 という。

参考

図示すると、

S10 ( プラトンの立体 )

正多面体は次の5種類のみである。

(*) 正4面体、正6面体(=立方体)、正8面体、正12面体、正20面体

補足

これらは 『 プラトンの立体 』 と呼ばれる。

正多面体がこの5種類に限ることは古代から知られていたようだ。

紀元前4世紀、哲学者プラトンは事物の基本構成単位は4元素(火、土、空気、水)であると考えた。

火に4面体、土に6面体、空気に8面体、水に20面体、宇宙に12面体を対応させた。

証明

正 k 角形の1つの角度は π(k−2)/k である。

m∈ を、1つの頂点に集まる面の個数とする。

正 k 角形が頂点のまわりを埋め尽くすと立体にならない。

よって、mπ(k−2)/k<2πである。

いま、k≠2 である。

よって、(k−2)/k≧1/3 である。

よって、m<6 である。

よって、m=3、4、5 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

m=3 の場合について考える。

いま、k<6 である。

よって、k=3、4、5 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

m=4 の場合について考える。

いま、k<4 である。

よって、k=3 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

m=5 の場合について考える。

いま、k<10/3 である。

よって、k=3 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、(k、m)=(3、3)、(3、4)、(3、5)、(4、3)、(5、3) である。

(3、3)=正4面体、(3、4)=正8面体、(3、5)=正20面体、(4、3)=正6面体、(5、3)=正12面体である。

定義 ( 正多面体群 )

を、正 k 面体とする。

をそれ自身に写す合同変換全体を G(T) と表す。

明らかに、G(T)は群である。

このとき、G(T)を 『 正 k 面体群 』 という。

参考

先に結論をまとめておくと、

つまり、5個ある正多面体群は本質的に3種類である。

S11

(1) G(T) と G(T) は同型である。

(2) G(T20) と G(T12) は同型である。

(1)の証明

の各辺の中点を結ぶと T になる。

よって、G(T) と G(T) は同型である。

(2)の証明

20 の各辺の中点を結ぶと T12 になる。

よって、G(T20) と G(T12) は同型である。

参考 ( 具体的に四面体群 G(T) の元を考える )

まず、次の回転がある。



つまり、頂点 P と四面体の中心を結ぶ直線を軸とする回転である。

上記の回転は 2π/3 と 4π/3 で2種類ある。

さらに、このような回転は頂点の個数(4個)だけ考えられる。

つまり、2・4=8個である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

また、次の回転がある。



つまり、辺 P の中点と図形の中心を結ぶ直線を軸とする回転である。

( むろん、これは 『 辺 P の中点 』 を通る )

この回転はπのみである。

つまり、上図では 2 と 3 の交換、1 と 4 の交換である。

さらに、このような回転は辺の個数の半分(6/2=3個)だけ存在する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上の変換に加え、恒等変換がある。

まとめると、8+3+1=12 である。

つまり、|G(T)|=12 である。

参考 ( 推移的 )

群 G が集合 X に作用するとする。

ある x∈X が存在して、Gx=X となるとする。

このとき、この作用は 『 推移的 』 であるという。

また、X を 『 G の等質空間 』 という。

S12

(1) |G(T)|=12

(2) |G(T)|=24

(3) |G(T12)|=60

(1)の証明

X を T の頂点の集合とする。( むろん、|X|=4 である )

x∈X とおく。

G(T)によって x は任意の頂点に写る。

つまり、G(T)x=X である。( つまり G(T)は X に推移的に作用する )

x を動かさない(G(T)の)元は 「 その頂点と図形の中心を結ぶ軸に関する回転 」 のみである。

( つまり、これは St(x) である )

このような回転は 2π/3、4π/3 のみである。

( 1つの頂点に集まる辺の個数が3個だからである )

つまり、1つの頂点に対する固定化群の位数は 3 である。

( むろん、これは恒等変換を考慮に入れて 3 個という意味である )

よって、|G(T)|=|Gx|・|St(x)|=4・3=12 である。(※Orb-St定理)

(2)の証明

の頂点の個数は 6 である。

また、1つの頂点に集まる辺の個数は 4 である。

よって、(1)と同様に、|G(T)|=6・4=24 である。

(3)の証明

20 の頂点の個数は 20 である。

また、1つの頂点に集まる辺の個数は 3 である。

よって、(1)と同様に、|G(T12)|=20・3=60 である。