群環、完全可約、マシュケの定理(半単純環の紹介)

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定義 ( 群環 )

K を体とする。

G を群とする。

次のように定義する。



ただし、狽ヘ形式的な有限和である。

通常の分配法則を K[G] に導入すれば、K[G] は環である。

このとき、K[G] を 『 K上の群環 』 という。

B6

G の表現 と K[G]加群は同一視できる。

証明

V を K 上のベクトル空間とする。

φ:G→GL(V)を表現とする。

ここで、K[G] の V への作用を次のように定義する。



明らかに、この作用は K[G]、V 両方に関して分配法則を満たす。(★1)

また、1v=v である。(★2)

ここで、G⊂K[G] と見なす。

σ、τ∈G とおく。

いま、σ(τv)=σ(φ(τ)v)=φ(σ)φ(τ)v=φ(στ)v=(στ)v である。(★3)

(★1)〜(★3)より、V は K[G]加群である。

つまり、G の表現が与えられれば、それに対応して K[G]加群を構成できる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

逆に、V を K[G]加群とする。

つまり、K[G] から V への作用がある。

G⊂K[G] と見なす。

上記の作用を G に制限すると、G から V への作用を得る。

つまり、「 σ∈G、v∈V 」 ⇒ σv∈V である。

視点を変えれば、これは、σ∈G に対し、線形変換ζ:V→V、ζ(v)=σv を対応させることを意味する。

つまり、これは表現φ:G→GL(V)を得ることを意味する。

明らかに、この作用により、表現φ:G→GL(V)を得る。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、次は同値であることが分かった。

(1) 表現φ:G→GL(V)を与える。

(2) K[G]加群を与える。

つまり、G の表現 と K[G]は同一視できる。

定義 ( 完全可約〜表現ver )

φ:G→GL(V)を表現とする。

任意の G 不変部分空間に対し、その G 不変補空間が存在するとする。

このとき、「φは完全可約である 」 という。

B7 ( マシュケの定理〜加群ver )

G を有限群とする。

K を体とする。

G の位数と K の標数は互いに素であるとする。

このとき、任意の左 K[G] 加群は完全可約である。

証明

M を左 K[G] 加群とする。

N を M の左 K[G] 部分加群とする。

次のような完全系列を考える。

(*) 0→N(φ)→M(ψ)→M/N→0

いま、M や M/N は K 加群と見なせる。

また、ψはK線形写像でもある。

K は体であるから、M/N は自由 K 加群である。(・・)

よって、ある K 線形写像ζ:M/N→M が存在して、ψ*ζ=I となる。

ここで、次のように定義する。



いま、ηは K[G]準同型写像である。

また、



よって、M の左K[G]部分加群 N’が存在して、M=N□N’となる。(※B5)

( φは単射であるから、φ(N)と N を同一視している )

よって、M は完全可約である。

B8 ( マシュケの定理〜表現ver )

G を有限群とする。

K を体とする。

G の位数と K の標数は互いに素であるとする。

このとき、G の K 上の表現は完全可約である。

とくに、標数 0 の体上の表現は完全可約である。

証明

B7 を言い換えただけである。

参考

環 R について、任意の左 R 加群が完全可約であるとする。

このとき、R を 『 半単純環 』 という。

参考

G を有限群とし、K を体とする。

G の位数と K の標数は互いに素であるとする。

むろん、このとき、群環 K[G] は半単純環である。(※マシュケの定理)

参考

半単純環の構造については 『 ウェッダバーンの構造定理 』 が有名である。