R[x]/I[x]と(R/I)[x]は同型

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A12 ( R[x]/I[x]と(R/I)[x]は同型 )

R を可換環とする。

I を R のイデアルとする。

このとき、I[x] は多項式環 R[x] のイデアルである。

また、R[x]/I[x]と(R/I)[x]は同型である。

証明

f(x)=a+・・・+ax+a∈R[x] とおく。

g(x)=b+・・・+bx+b∈R[x] とおく。

ただし、f(x)、g(x)の最高次数が異なる可能性はある。

その場合はズレた分の係数を 0 とおくことによってズレを埋めればよい。

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まず、I[x] が R[x] のイデアルであることを示す。

f(x)、g(x)∈I[x] とおく。

I[x] の定義より、a、b∈I である。

I はイデアルであるから、a−b∈I である。

よって、f(x)−g(x)=(a−b)+(a−b)x+・・・+(a−b)x∈I[x] である。

また、I はイデアルであるから、a∈I である。

よって、



以上により、R[x] はイデアルである。

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f(x)∈R[x] に対して、f’(x)を次のように定義する。



φ:R[x]→(R/I)[x] を φ(f(x))=f’(x)で定義する。

いま、





以上により、φは準同型写像である。

よって、R[x]/KerφとImφは同型である。(※環の準同型定理)

また、明らかに、φは全射であるから、Imφ=(R/I)[x]である。

また、



よって、Kerφ=I[x] である。

以上により、R[x]/I[x]と(R/I)[x]は同型である。