群の作用、共役による作用、Orb-St定理

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復習 ( ラグランジュの定理 )

G を有限群とする。

H を G の部分群とする。

このとき、|G|=|G/H|・|H|である。

補足

ラグランジュの定理は剰余群に関する基本的な結果であり、様々な分野の基礎となる。

証明

よく知られているように、任意の x∈G に対し、|xH|=|Hx|=|H|である。

よって、明らかである。

復習 ( 群の準同型定理 )

G、G’を群とする。

f:G→G’を準同型写像とする。

π:G→G/Kerf を自然な準同型写像とする。

このとき、ある準同型写像φ:G/Kerf→G’が一意に存在して、φ*π=f となる。

つまり、G/Kerf と Imf は(群として)同型である。

証明

省略する。

定義 ( 群の作用 )

G を群とし、X を集合とする。

任意の g∈G、x∈X に対し、gx∈X が一意に定まるとする。

次が成り立つとする。

(1) 任意の g、h∈G、x∈X に対し、(gh)x=g(hx) である。

(2) 任意の x∈X に対し、1x=x である。

このとき、「 G は X に作用する 」 という。

『 群の作用 』 と 『 群の演算 』 は区別しよう。

群の作用を * で表すと、上の(1)、(2)は次のように表せる。

(*1) (gh)*x=g*(h*x)

(*2) 1*x=x

定義 ( 軌道 )

G が X に作用しているとする。

x∈X とおく。

このとき、Gx を 『 x の G による軌道 』 という。

Gx を Orb(x) と表すこともある。

定義 ( 固定化群 )

G が X に作用するとする。

x∈X とおく。

St(x)={ g∈G|gx=x } と定義する。

このとき、St(x) を 『 x の固定化群 』 という。

明らかに、St(x) は G の部分群である。

定義 ( 共役類 )

G を群とする。

x、y∈G とおく。

ある g∈G が存在して、x=gyg−1 となるとする。

このとき、「 x と y は共役である 」 という。

明らかに、共役は同値関係である。

そこで、共役による同値類を C(x) と表す。

このとき、C(x) を 『 共役類 』 という。

定義 ( 中心化群 )

G を群とする。

S を G の部分集合とする。

(S)={ x∈G|任意の s∈S に対して xs=sx である } と定義する。

このとき、Z(S) を 『 中心化群 』 という。

とくに、Z(G) を Z(G) と表す。

このとき、Z(G) を 『 G の中心 』 という。

明らかに、Z(S) は G の部分群である。

とくに、S={a} の場合、Z(a) と表す。

S1 ( Orb-St 定理 )

G が X に作用しているとする。

x∈X とおく。

φ:Gx→G/St(x) を φ(gx)=gSt(x) で定義する。

このとき、φ は全単射である。

証明

明らかに、φ は全射である。

St(x)=gSt(x) とおく。

いま、ある h∈St(x) が存在して、g=gh である。

よって、gx=ghx=gx である。

よって、φ は単射である。

S2 ( ラグランジュの定理〜Orb-St ver )

G を有限群とする。

G が X に作用しているとする。

x∈X とおく。

このとき、|G|=|Gx|・|St(x)|である。

証明

明らかである。(※Orb-St定理、ラグランジュの定理)

注意 ( 共役による作用 )

G から G 自身への共役による作用を考える。

つまり、x∈G とすると、Gx={ gxg−1|g∈G } である。

明らかに、これは共役類と同じである。

つまり、Gx=C(x)である。

S3 ( ラグランジュの定理〜共役-中心ver )

G を有限群とする。

x∈G とおく。

このとき、|G|=|C(x)|・|Z(x)|である。

補足

つまり、|C(x)|は|G|の約数である。

証明

G の自分自身への共役による作用を考える。

いま、gx=x ⇔ gxg−1=x である。( gx は積ではなくて、作用を意味する )

よって、St(x)=Z(x) である。(作用と積を混同しないように注意)

また、Gx=C(x)である。

よって、|G|=|C(x)|・|Z(x)|である。(※S2)

参考 ( Orb-St 定理は運送屋 )

Orb-St 定理の証明は理解できているであろうか?

gSt(x)の元は、その差が x を動かさない。

つまり、g、h∈St(x) とすると、h−1gx=x である。

つまり、G/St(x)を運送屋とすれば、各類は配送先が同じチームを意味する。

よって、各類と配送地域がすべて1対1で対応することは道理である。