正規部分群と剰余群

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定義 ( 正規部分群 )

N を群 G の部分群とする。

任意の x∈G に対し、xNx−1=N であるとする。

このとき、N を 『 G の正規部分群 』 という。

参考 ( 正規化群、中心化群 )

G を群とする。

H を群 G の部分集合とする。

(H)={ x∈G|xHx−1=H } と定義する。

(H)={ x∈G|任意の h∈H に対し、xhx−1=h である } と定義する。

このとき、N(H) を 『 H の正規化群 』 という。

また、Z(H) を 『 H の中心化群 』 という。

また、Z(G) を 『 G の中心 』 という。

とくに、S が1点 a∈G からなるとき、N(S)=Z(S)である。

正規部分群と正規化群の意味の違いに注意しよう。

参考

H を群 G の部分集合とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) N(H) は G の部分群である。

(2) Z(H) は G の部分群である。

(1)の証明

x、y∈N(H)とおく。

いま、xHx−1=H、yHy−1=H である。

また、(xy)H(xy)−1=(xy)H(y−1−1)=x(yHy−1)x−1=xHx−1=H である。

よって、xy∈N(H)である。

また、x−1H(x−1−1=x−1Hx=x−1xHx−1x=H である。

よって、x−1∈N(H)である。

以上により、N(H)は群 G の部分群である。(※A5)

(2)の証明

(1)と同様である。

参考

H を群 G の部分群とする。

このとき、次は同値である。

(1) H は G の正規部分群である。

(2) N(H)=G である。

証明

明らかである。(※:正規部分群、正規化群)

A13

H を群 G の部分群とする。

このとき、次は同値である。

(1) H は G の正規部分群である。

(2) 任意の x∈G に対し、xHx−1=H である。

(3) 任意の x∈G に対し、xHx−1⊂H である。

(4) 任意の x∈G に対し、xH=Hx である。

補足

(2)は、意味が分かりやすいので、正規部分群の定義として採用されることが多い。

(3)は、とくに条件が弱い。(むろん、本質的には他の条件と同値)

なので、ある部分群が正規部分群であることを示すためによく用いられる。

(4)は、左剰余類と右剰余類が一致することを意味する。

逆に言えば、正規部分群とは、左剰余類と右剰余類が一致するように定義された部分群である。

(1)⇔(2)の証明

定義そのままである。

(2)⇔(3)の証明

(2)⇒(3)は明らかである。

(3)を仮定する。

x∈G とおく。

いま、x−1∈G に対して x−1H(x−1−1⊂H である。

よって、x−1Hx⊂H である。

よって、H=x(x−1Hx)x−1⊂xHx−1 である。

よって、xHx−1=H である。

(2)⇔(4)の証明

(2)を仮定する。

いま、xH=xHx−1x=Hx である。

(4)を仮定する。

いま、xHx−1=Hxx−1=H である。

A14

N を群 G の正規部分群とする。

このとき、G の N に関する右剰余類と左剰余類は一致する。

補足

逆に言えば、正規部分群は左剰余類と右剰余類が一致するように定義された G の部分群である。

証明

明らかである。(※A13)

A15

N を群 G の正規部分群とする。

φ:G/N × G/N→G/N をφ(xN、yN)=xyN で定義する。

このとき、φは well-defined である。

補足

φは次の演算を意味する。

(*) aN・bN=abN

証明

π:G×G→G/N×G/N をπ(x、y)=(xN、yN)で定義する。

f:G×G→G/N を f(x、y)=xyN で定義する。

明らかに、πと f は全射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

π(x、y)=π(x’、y’)とする。

いま、(xN、yN)=(x’N、y’N)である。

つまり、xN=x’N かつ yN=y’N である。

よって、xyN=xy’N=xNy’=x’Ny’=x’y’N である。(※A13)

つまり、f(x、y)=f(x’、y’)である。

以上により、π(x、y)=π(x’、y’) ⇒ f(x、y)=f(x’、y’) である。

よって、φ:G/N×G/N→G/N をφ(xN、yN)=xyN で定義できる。(※S1:well-defined)

A16 ( 剰余群 )

N を群 G の正規部分群とする。

ここまでの議論により、G/N に対して次の演算を定義できる。(※A15)

(*) xN・yN=xyN

このとき、G/N は(*)に関して群である。

この G/N を 『 剰余群 』 という。

証明

x、y、z∈G とおく。

いま、xN(yNzN)=xN(yzN)=x(yz)N である。

また、(xNyN)zN=xyN(zN)=(xy)zN である。

G では結合則が成り立つので、x(yz)=(xy)z である。

よって、xN(yNzN)=(xNyN)zN である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

N=eN は G/N の1つの剰余類である。

いま、xNN=xNeN=xeN=xN である。

また、NxN=eNxN=exN=xN である。

よって、N は G/N の単位元である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

xN∈G/N とおく。

いま、x−1∈G である。

また、x−1 の剰余類は x−1N∈G/N である。

また、xNx−1N=xx−1N=eN=N である。

また、x−1NxN=x−1xN=eN=N である。

よって、x−1N は xN の逆元である。

つまり、(xN)−1=x−1N である。

A17

G をアーベル群とする。

N を G の部分群とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) N は正規部分群である。

(2) 剰余群 G/N はアーベル群である。

(1)の証明

明らかである。(※A13)

(2)の証明

(1)より、N は正規部分群であるから、G/N は剰余群である。

aN、bN∈G/N とおく。

いま、aNbN=abN=baN=bNaN である。