左正則表現(群環ver)

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定義 ( 左正則表現 )

G を有限群とする。

G の位数を n とする。

G={ a、・・・、a } とする。

V を { a、・・・、a } を基底とする K 上のベクトル空間とする。

つまり、V=Ka+・・・+Ka である。

( これは群環 K[G] を K 上のベクトル空間と見なしたものである )

a∈G とおく。

作用 f:G→G を f(a)=aa で定義する。

これによって、V から V への線形写像を構成できる。

つまり、表現φ:G→GL(V)を得る。

このとき、φを 『 G の左正則表現 』 という。

C12

G を有限群とする。

φを G の左正則表現とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

G の位数を n とする。

G={ a、・・・、a } とする。

A=(αij)を基底 { a、・・・、a } に関するφ(a)の表現行列とする。

いま、次が成り立つ。(※線形代数)



つまり、



よって、



( G={ a、・・・、a }で、φ(a)∈G であるから、aa は G のいずれかの元と一致することに注意 )

とくに、a≠e ならば A の対角成分はすべて 0 である。

よって、

C13

G を有限群とする。

φを G の左正則表現とする。

χをφの指標とする。

χ をχの既約成分とする。

このとき、次の(1)〜(4)が成り立つ。

(1) 任意の既約表現は左正則表現の既約成分である。

(2) χ の次数と重複度は一致する。

(3) G の同値でない既約表現の個数は有限個である。

(4) 左正則表現の既約指標への分解はχ=狽χ ( q はχ の次数 )と表される。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

G の位数を|G|と表す。

χ の次数を q とする。

χ の重複度を m とする。

C12 より、



よって、



よって、q=m である。(※C9)

(3)の証明

明らかである。

「 同値でない 」 という部分については、既約成分の定義に注意。

(4)の証明

定義(既約分解)より、χ=狽χ である。

(2)より、m=q である。

C14

G を有限群とする。

χ、・・・、χ を G の既約指標とする。

、・・・、q をそれぞれχ、・・・、χ の次数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) |G|=q+・・・+q

(2) qχ(a)+・・・+qχ(a)=0 ( a≠e )

(1)の証明

明らかに、|G|=χ(e)=1≦i≦sχ(e)=1≦i≦s である。(※C12、13)

(2)の証明

明らかに、0=χ(a)=1≦i≦sχ(a)である。